2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 19:51 


27/10/11
228
Здравствуйте, можете подсказать как найти радус сходимости

$\sum_{n=0}^{\infty} 4^{(-1)^n n+1}(2z+i)^{2n} $

Мне кажется, что у него будет два различных радиуса сходимости
R=4
R=1/4

Так может быть или я ошибся ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Нет, Евгений, так быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 20:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alexeybk5 в сообщении #515503 писал(а):
Мне кажется, что у него будет два различных радиуса сходимости

Радиус сходимости равен верхнему предел соотв. корня. Вот на верхний и смотрите, а на нижний даже и не обращайте внимания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 20:41 


27/10/11
228
Так ведь два числа получает из-за
$(1)^n$
Т.е. 1/4 выкинуть, и писать только $R=4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 20:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alexeybk5 в сообщении #515536 писал(а):
Так ведь два числа получает из-за

Кто чего получает -- и, что самое главное, как?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 20:59 


27/10/11
228
Извините, просто быстро писал, посему такие странные предложения :-)

я пользуюсь формулой для нахождения радиуса ряда
Но до меня никак не дойдёт как можно его найти ( а именно что делать с
$a_n = 4^{(-1)^n n+1},\; a_{n+1}=4^{(-1)^{n+1}(n+1)}$

я тупо разбил для n чётных и n нечётных


Но что-то мне подсказывает, что так делать не комильфо

(можете сказать, как тогда найти этот предел ) :-)?

п.с. Как у Вас тут всё строго

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 21:20 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 i 
Alexeybk5 в сообщении #515546 писал(а):
Но что-то мне подсказывает, что так делать не комельфо
Alexeybk5,

"Comme il faut", когда транслитерируется в русский, пишется без искажений: "комильфо". Или не пишется совсем.


-- 14 дек 2011, 22:36 --

Alexeybk5 в сообщении #515546 писал(а):
п.с. Как у Вас тут всё строго
Да не особо... Все пишут "длинннна", "пощитать", "решить интеграл", и никто их уже не попрекает. Видимо, к особо культурным, пользующим французский, и претензии особые. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 21:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alexeybk5 в сообщении #515546 писал(а):
я тупо разбил для n чётных и n нечётных

Разбить полезно, только лучше делать это всё-таки не тупо. Если тот или иной предел (типа Даламбера или типа Коши) существует, то он порождает радиус сходимости. Однако радиус сам по себе существует и тогда, когда предела нет, и у Вас -- как раз такой случай.

(Только я там неправильно выразился: радиус, конечно, не сам верхний предел типа Коши, а единица делить на соответствующий верхний предел; верхний же предел существует всегда и от чего угодно.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 22:04 


27/10/11
228
а как же мне тогда исследовать ряд на сходимость ? (это всё ТФКП)

мне дан вот такой ряд:
$\sum_{n=0}^{+\inf}4^{(-1)^n n+1}(2z+i)^{2n}$

и... ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение14.12.2011, 22:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alexeybk5 в сообщении #515565 писал(а):
мне дан вот такой ряд:
$\sum_{n=0}^{+\inf}4^{(-1)^n n+1}(2z+i)^2n$

Это уже третий вариант данного Вам ряда. Вы бы уж навели порядок в записях (хотя на суть дела это и не очень влияет, но -- раздражает).

Это вообще-то нельзя сказать, чтоб именно ТФКП, это всего лишь теорема Абеля, которая к комплексностям относится очень слабо (т.е. мнимая единичка там на результат совершенно никак не влияет). Я не знаю, как там у вас строился курс. Вообще-то стандартно -- сначала (задолго до ТФКП) просто степенные ряды, и среди них должна была быть теорема вот как раз Абеля:

$R=\dfrac1{\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\,.$

Где по определению верхнего предела

$\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}b_n\equiv\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{k>n}b_k\,.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение15.12.2011, 02:26 


27/10/11
228
Всё спасибо,
не мог решить из-за того, что забыл вот это:

$\overline \lim \limits_{n\to\infty} (-1)^n =1
 $
$\underline\lim\limits_{n\to\infty} (-1)^n =-1$

-- 15.12.2011, 03:33 --

Ну чтобы не создавать новой темы, то тут и напишу про второй вопрос по тем же пределам :-)
Исследовать на сходимость ряд:
$\sum_{n=1}^{\infty}(1+1/n^2)z^n$
Радиус сходимости
$R=1$

$|b_n|=\lim_{n\to\infty} (1+1/n^2)=1 \neq 0$


и ... Мысли заканчиваются...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение15.12.2011, 07:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А что Вы хотели-то с этими $b_n$, я не понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение15.12.2011, 12:01 


27/10/11
228
Ну этими $b_n$ вроде как проверяем на абсолютную сходимость на самой окружности круга сходимости...

Если честно, то с рядами я ещё с матана не очень дружу, посему и в ТФКП испытываю трудности с этой темой....

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение15.12.2011, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну? И что происходит на самой окружности? Зачем находили предел $|b_n|$? Зачем сравнивали его с нулём? Может, надо было сравнивать со 100500? Или всё-таки с нулём?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти радиус сходимости ряда
Сообщение15.12.2011, 12:58 


27/10/11
228
ну в похожем примере в тетрадке записано, что $|b_n|$ должно стремится к нулю ( разве это не логично, что в убывающей сходящейся последовательность n ный член стремится к нулю, при n стремящемся к бесконечности ?)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group