Помогите найти радиус сходимости ряда

[Alexeybk5]

Здравствуйте, можете подсказать как найти радус сходимости

$\sum_{n=0}^{\infty} 4^{(-1)^n n+1}(2z+i)^{2n} $

Мне кажется, что у него будет два различных радиуса сходимости
R=4
R=1/4

Так может быть или я ошибся ?

[ИСН]

Нет, Евгений, так быть не может.

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #515503 писал(а):

Мне кажется, что у него будет два различных радиуса сходимости

Радиус сходимости равен верхнему предел соотв. корня. Вот на верхний и смотрите, а на нижний даже и не обращайте внимания.

[Alexeybk5]

Так ведь два числа получает из-за
$(1)^n$
Т.е. 1/4 выкинуть, и писать только $R=4$

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #515536 писал(а):

Так ведь два числа получает из-за

Кто чего получает -- и, что самое главное, как?...

[Alexeybk5]

Извините, просто быстро писал, посему такие странные предложения

я пользуюсь формулой для нахождения радиуса ряда
Но до меня никак не дойдёт как можно его найти ( а именно что делать с
$a_n = 4^{(-1)^n n+1},\; a_{n+1}=4^{(-1)^{n+1}(n+1)}$

я тупо разбил для n чётных и n нечётных


Но что-то мне подсказывает, что так делать не комильфо

(можете сказать, как тогда найти этот предел ) ?

п.с. Как у Вас тут всё строго

[AKM]

Alexeybk5 в сообщении #515546 писал(а):

Но что-то мне подсказывает, что так делать не комельфо

Alexeybk5,

"Comme il faut", когда транслитерируется в русский, пишется без искажений: "комильфо". Или не пишется совсем.

-- 14 дек 2011, 22:36 --

Alexeybk5 в сообщении #515546 писал(а):

п.с. Как у Вас тут всё строго

Да не особо... Все пишут "длинннна", "пощитать", "решить интеграл", и никто их уже не попрекает. Видимо, к особо культурным, пользующим французский, и претензии особые.

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #515546 писал(а):

я тупо разбил для n чётных и n нечётных

Разбить полезно, только лучше делать это всё-таки не тупо. Если тот или иной предел (типа Даламбера или типа Коши) существует, то он порождает радиус сходимости. Однако радиус сам по себе существует и тогда, когда предела нет, и у Вас -- как раз такой случай.

(Только я там неправильно выразился: радиус, конечно, не сам верхний предел типа Коши, а единица делить на соответствующий верхний предел; верхний же предел существует всегда и от чего угодно.)

[Alexeybk5]

а как же мне тогда исследовать ряд на сходимость ? (это всё ТФКП)

мне дан вот такой ряд:
$\sum_{n=0}^{+\inf}4^{(-1)^n n+1}(2z+i)^{2n}$

и... ?

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #515565 писал(а):

мне дан вот такой ряд:
$\sum_{n=0}^{+\inf}4^{(-1)^n n+1}(2z+i)^2n$

Это уже третий вариант данного Вам ряда. Вы бы уж навели порядок в записях (хотя на суть дела это и не очень влияет, но -- раздражает).

Это вообще-то нельзя сказать, чтоб именно ТФКП, это всего лишь теорема Абеля, которая к комплексностям относится очень слабо (т.е. мнимая единичка там на результат совершенно никак не влияет). Я не знаю, как там у вас строился курс. Вообще-то стандартно -- сначала (задолго до ТФКП) просто степенные ряды, и среди них должна была быть теорема вот как раз Абеля:

$R=\dfrac1{\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\,.$

Где по определению верхнего предела

$\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}b_n\equiv\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{k>n}b_k\,.$

[Alexeybk5]

Всё спасибо,
не мог решить из-за того, что забыл вот это:

$\overline \lim \limits_{n\to\infty} (-1)^n =1 $
$\underline\lim\limits_{n\to\infty} (-1)^n =-1$

-- 15.12.2011, 03:33 --

Ну чтобы не создавать новой темы, то тут и напишу про второй вопрос по тем же пределам
Исследовать на сходимость ряд:
$\sum_{n=1}^{\infty}(1+1/n^2)z^n$
Радиус сходимости
$R=1$

$|b_n|=\lim_{n\to\infty} (1+1/n^2)=1 \neq 0$


и ... Мысли заканчиваются...

[ИСН]

А что Вы хотели-то с этими $b_n$, я не понял?

[Alexeybk5]

Ну этими $b_n$ вроде как проверяем на абсолютную сходимость на самой окружности круга сходимости...

Если честно, то с рядами я ещё с матана не очень дружу, посему и в ТФКП испытываю трудности с этой темой....

[ИСН]

Ну? И что происходит на самой окружности? Зачем находили предел $|b_n|$? Зачем сравнивали его с нулём? Может, надо было сравнивать со 100500? Или всё-таки с нулём?

[Alexeybk5]

ну в похожем примере в тетрадке записано, что $|b_n|$ должно стремится к нулю ( разве это не логично, что в убывающей сходящейся последовательность n ный член стремится к нулю, при n стремящемся к бесконечности ?)