Предел последовательности (сумма, сочетания)

[misha_fm]

Господа, помогите разобраться. Подкинули задачку - найти предел последовательности, общий член -
$\frac {C_n^0} 1 - \frac {C_n^1} 2 + \frac {C_n^2} 3 + \ldots + (-1)^n\frac {C_n^n} {n+1}$

Спасибо!

[EtCetera]

Наводящая задача в стиле "отыщите предмет на рисунке": попробуйте найти выражение $\frac{1}{n+1}$ в таблице интегралов.

[SpBTimes]

Можно и так:
Посчитайте частичную сумму.
$S = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{(-1)^k C_n^k}{k + 1}$
Домножением на $x^{k + 1}$, а затем дифференцированием, получите:
$S' = \sum\limits_{k = 0}^n x^k(-1)^k C_n^k$
Такая частичная сумма ищется просто. Затем проинтегрируете то, что получится, поделите на $x^{k + 1}$ и найдёте предел

[misha_fm]

Спасибо за наводку.

Имеем

$S' = \sum\limits_{k=0}^n{x^k(-1)^k}C_n^k=(1-x)^n$.

$\int S'=\frac {-(1-x)^{n+1}} {n+1}$.

Но здесь не совсем ясно, каким образом мы делим это выражение на $x^{k+1}$

[SpBTimes]

Теперь вместо икса подставляем цифирь и всё готово

[misha_fm]

Признаться, удивили, ей-богу.
Ну а если серьёзно, то не ясно, каким образом (или по какому праву) изначально сумму

$S_n = \frac {C_n^0} 1 - \frac {C_n^1} 2 + \frac {C_n^2} 3 + \ldots + (-1)^n\frac {C_n^n} {n+1}$

мы умножаем на $x^{k+1}$ таким образом, что первое слагаемое домножается на $x^0$, второе - на $x^1$ и т.д.

[SpBTimes]

А вы знаете, я в виду позднего времени написал ерунду.
Конечно не надо ни на что делить. Просто проинтегрировав, подставляете вместо х догадайтесь что, чтобы получить исходную сумму.

[misha_fm]

Ясно. Но всё же, чтобы прояснить до конца, а то время действительно позднее.. (полагаю, что капитан очевидность усмехнётся (Вы тоже, наверное), прочитав нижеследующие рассуждения).

Когда мы домножаем первоначальную сумму на x, мы, предполагая в глубине души, что х=0, имеем т.о. право домножить каждое слагаемое на любую степень икса. И с таким же лёгким сердцем избавляемся от него в итоге. Так?)

[bot]

misha_fm в сообщении #515328 писал(а):

Когда мы домножаем первоначальную сумму на x

Ну плохо SpBTimes выразился - надо домножать на $1=x=x^2=x^3= ... =x^{n+1} $, потом рассмотреть полученное при любом $x$ и после выполнения изложенной у SpBTimes программы подставить $x=1$.