Геометрия, стереометрия

[reformator]

1) Один из углов треугольника равен $\frac{3\pi}4$. Радиус вписанной окружности $r=4$.
Периметр треугольника $8(6+\sqrt 2)$. Найти радиус описанной окружности $R$.

Сделал картинку.



Попытка решения

Можно найти площадь треугольника из формулы

$r=\dfrac{S}{p}$ => $S=rp=4\cdot 4(6+\sqrt 2)=16(6+\sqrt 2)$

Одна из формул для радиуса вписанной окружности

$R = \dfrac {c}{2\sin\frac{3\pi}{4}}$

Только как найти длину стороны $c$?

Можно как-нибудь попробовать связать ее с площадью треугольника $S=0,5\cdot c\cdot h$

Но для этого нужно найти высоту. Как же ее можно найти?!

2) В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами $7$, $8$ и $9$.

Боковые ребра наклонены к основанию под углом $\dfrac{\pi}{3}$. Найти высоту.

У меня есть предположение, что точка пересечения высоты и основания пирамиды будет лежать в центре треугольника и расстояния от этой точки до всех углов треугольника в основании будут равны.

А с чего следует начать?!

[spaits]

Что такое расстояния до углов? Или Вы думали - до вершин углов? Это вторая задача.

[reformator]

spaits в сообщении #514582 писал(а):

Что такое расстояния до углов? Или Вы думали - до вершин углов? Это вторая задача.

До вершин углов имел ввиду! Это 2 разные задачи под 1) и под 2)

[spaits]

reformator в сообщении #514584 писал(а):

До вершин углов имел ввиду! Это 2 разные задачи под 1) и под 2)

Вторая задача. Значит, найдите радиус описанной окружности, стороны треугольника известны. Формулу знаете? Вам придется найти площадь треугольника тоже.

[reformator]

spaits в сообщении #514587 писал(а):

Вторая задача. Значит, найдите радиус описанной окружности, стороны треугольника известны. Формулу знаете? Вам придется найти площадь треугольника тоже.

Хорошо) Кстати, точно) Те расстояния, о которых я говорил и есть радиус описанной окружности

Вот формула:

$R = \dfrac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

$$R=\dfrac{7\cdot 8\cdot 9}{\sqrt{(7+8+9)(-7+8+9)(7-8+9)(7+8-9)}}=\dfrac{504}{\sqrt{24\cdot 10\cdot 8\cdot 6}}=\dfrac{504}{\sqrt{11520}}$$

А корень плохо извлекается...

Площадь треугольника в основании пирамиды

$S=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{504}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{11520}}{504}=\sqrt{720}$

[Shadow]

reformator в сообщении #514559 писал(а):

Только как найти длину стороны c?

Я нашел c, выразив $(a+b)^2$ один раз как $(p-c)^2$ и второй из теоремы косинусов. Получилось уравнение относительно c. Число целое, возможно, есть и более короткий путь, не знаю.

[vvsss]

p - b = r ctg(beta/2) = r(1 + cos(beta))/sin(beta) - И Вы найдёте сторону.

[reformator]

vvsss в сообщении #514884 писал(а):

p - b = r ctg(beta/2) = r(1 + cos(beta))/sin(beta) - И Вы найдёте сторону.

Спасибо! А что это за угол бета? $p$ -это полупериметр в ваших обозначениях?! А как такая формула получилась?!

-- 12.12.2011, 22:36 --

Shadow в сообщении #514634 писал(а):

reformator в сообщении #514559 писал(а):

Только как найти длину стороны c?

Я нашел c, выразив $(a+b)^2$ один раз как $(p-c)^2$ и второй из теоремы косинусов. Получилось уравнение относительно c. Число целое, возможно, есть и более короткий путь, не знаю.

Спасибо! Что-то не очень пронял -- как вы так выразили? $(a+b)^2$ один раз как $(p-c)^2$?

[Shadow]

$\\a+b+c=p\\ a+b=p-c\\ (a+b)^2=(p-c)^2$
В квадрат потому что в теореме косинусов тоже можно выразить $(a+b)^2$. И приравнять

[spaits]

Вторая задача.
Площадь треугольника в основании пирамиды и радиус описанной окружности Вы нашли верно, но что же Вы не вынесли множители из-под корня и не сократили дроби?
Площадь треугольника легче найти по формуле Герона: стороны $7; 8; 9$; полупериметр $p=12$.
Площадь треугольника $S=\sqrt{12\cdot5\cdot4\cdot3} = 4\cdot3\cdot{\sqrt{5}}= 12\sqrt{5}$.
Зная площадь, можно вычислить радиус описанной окружности по формуле: $R=\frac{abc}{4S}$.
Когда подставляете численные значения, не умножайте числа, сначала сократите. Вы получите: $R=\frac{21\sqrt{5}}{10}$. Это то же число, что у Вас, только дробь сокращена.
Кроме того, Вы не довели решение второй задачи до конца. Надо ведь найти высоту пирамиды.
Про первую задачу Вам только что написал Shadow.

[vvsss]

p - b = r ctg(beta/2) = r(1 + cos(beta))/sin(beta) - И Вы найдёте сторону.

p = 24 + 4*sqrt(2) полупериметр
beta = 3 pi / 4 данный угол

b = 24 + 4*sqrt(2) - (4*sqrt(2) - 4) =30
Обозначения и формулы стандартные школьные (шестидесятых годов)
Да здравствуют Путин и Фурсенко - как возрос уровень грамотности

[sandrachka]

опечатка. первое уравнение выглядит так: $4x-y-z=0$ это я про систему из шести уравнений.