вероятность того, что событие произойдет k раз подряд

[alexey007]

Вопрос в следующем, нужно посчитать вероятность выпадания события $A$ $k$ раз подряд при количестве $n$ испытаний. Вероятность наступления события $A$ в каждом испытании равна $p$. Возможно ли это хоть как нибудь посчитать. И если да, то как?
Это вроде бы, похоже на схему Бернулли, но в книге было написано только о вероятности наступления события $A$ $m$ раз, больше я в книге ничего не нашел.

[SpBTimes]

ровно k раз подряд?
Просто вам достаточно удобно просуммировать.
Скажем какова вероятность, что первые k раз будут успешны?

[alexey007]

ааааа, точно кажется понял. Но k раз подряд может несколько раз встретиться при n- испытаниях. И еще все таки нужно посчитать вероятность выпадания события A больше или равно k раз.

[SpBTimes]

Ну тут вам нужно комбинировать.
Скажем, какова вероятность, что как минимум k первых событий успешны?
$p = p^k \cdot \sum\limits_{i = 0}^{n - k} C_{n - k}^{i}p^iq^{n - k - i}$
вроде как-то так

[alexey007]

Ух классно, спасибо))) нужно подумать сразу не могу сообразить. Огромное спасибо

[SpBTimes]

Я могу и напутать. В частности с той суммой, проверьте

[--mS--]

alexey007 в сообщении #514435 писал(а):

ааааа, точно кажется понял. Но k раз подряд может несколько раз встретиться при n- испытаниях. И еще все таки нужно посчитать вероятность выпадания события A больше или равно k раз.

Составляете рекуррентное уравнение: пусть $p_n$ - искомая вероятность, $p_n=0$ при $n<k$, $p_k=p^k$. Тогда $p_n=p_{n-1}+(1-p_{n-k-1})\cdot (1-p)\cdot p^k$ при $n > k$. Действительно, либо к моменту $n-1$ уже случилось искомое событие, либо нет, но случится к моменту $n$. Последнее означает, что в наборе из $n{-}1$ испытания последние $k{-}1$ были успехами, перед ними неудача, в предыдущих $n{-}k{-}1$ испытаниях серий не было, а в $n$-м испытании успех. Не знаю, можно ли ответ выразить явным образом.

[Shadow]

Т.е, если просто нужно "вычислить", то двумерный масив заполняем:
$\\M(0,j)=0\\ M(i,0)=1\\ M(i,j)=pM(i-1,j-1)+(1-p)M(i-1,k)$