Степенной ряд (область сходимости), предел

[lampard]

1) Область сходимости и интервал сходимости -- это одно и тоже?

2) Найти область и радиус сходимости степенного ряда.

$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{(2n+1)(1-x)^{n+1}}$

Я нашел интервал, на котором ряд сходится по признаку Даламбера.
Получилось $x\in(-\infty;-2)\cup(1;\infty)$

При $x=1$ и $x=-2$ ряд расходится. Как записать ответ? Какой радиус? $R=\infty$? А область?

3) Найти предел, используя формулу Тейлора.

$\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-{(\cos x)}^{\sin x}}{x^3}$

А тут нужно косинус или синус сначала в ряд Маклорена раскладывать?

[ewert]

lampard в сообщении #513930 писал(а):

А тут нужно косинус или синус сначала в ряд Маклорена раскладывать?

Сначала нужно представить степень как экспоненту от логарифма и т.д. А потом уж -- и косинус, и потом логарифм, и синус, и саму экспоненту.

[lampard]

ewert в сообщении #513932 писал(а):

Сначала нужно представить степень как экспоненту от логарифма и т.д. А потом уж -- и косинус, и потом логарифм, и синус, и саму экспоненту.

Спасибо, сделаю. Правильно начал?

$$\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-{(\cos x)}^{\sin x}}{x^3}=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-{\exp\big[{\sin x\cdot \ln(\cos x)}}\big]}{x^3}=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-{\exp\big[{(x-\frac{x^3}{3}+O(x^5))\cdot \ln(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4))}}\big]}{x^3}$$

[Dan B-Yallay]

1) Интервал сходимости - это один из видов множества сходимости. Область сходимости - это некое множество, на котором функциональный ряд сходится. В общем случае оно необязательно является интервалом. Как например в вашем примере: $x \in (...) \cup (...)$
2) Так как ряд не "степенной" (а обратно-степенной), радиуса и интервала сходимости у него нет. Зато есть два интервала.

[myra_panama]

3) $(\cos x)^{\sin x}=e^{\sin x\cdot \ln {\cos x}}$

$\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$ , $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$ , $\ln (1-x)=-x-\frac{x^2}2+o(x^2)$ , $x\to 0$

[lampard]

Dan B-Yallay в сообщении #513940 писал(а):

1) Интервал сходимости - это один из видов множества сходимости. Область сходимости - это некое множество, на котором функциональный ряд сходится. В общем случае оно необязательно является интервалом. Как например в вашем примере: $x \in (...) \cup (...)$
2) Так как ряд не "степенной" (а обратно-степенной), радиуса и интервала сходимости у него нет. Зато есть два интервала.

Спасибо!

1) То есть интервал сходимости $x \in (...) \cup (...)$, а область сходимости могла получиться $x \in (...] \cup (...)$ То есть область сходимости может содержать концы интервалов?

2) А можно ли как-то показать, что ряд не имеет радиуса сходимости?

-- 10.12.2011, 16:28 --

myra_panama в сообщении #513943 писал(а):

3) $(\cos x)^{\sin x}=e^{\sin x\cdot \ln {\cos x}}$

$\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$ , $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$ , $\ln (1-x)=-x-\frac{x^2}2+o(x^2)$ , $x\to 0$

Спасибо! Я так понял, что я забыл расставить факториалы...А так -- правильно?

$$\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-{(\cos x)}^{\sin x}}{x^3}=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-{\exp\big[{\sin x\cdot \ln(\cos x)}}\big]}{x^3}=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-{\exp\big[{(x-\frac{x^3}{3!}+O(x^5))\cdot \ln(1-\frac{x^2}{2!}+O(x^4))}}\big]}{x^3}=$$

(А экспоненту до какого члена раскладывать?)

Как вообще лучше угадать -- до какого члена раскладывать?

(точность)

$\ln(\cos x)=\ln(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4))=-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$ Или нужна точность выше?

$$=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-{\exp\big[{(x-\frac{x^3}{3!}+O(x^5))\cdot (-\frac{x^2}{2}+O(x^4))}\big]}}{x^3}=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-{\exp\big[\frac{x^3}{2}+O(x^4)\big]}}{x^3}=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-(1-x^3/2)}{x^3}=\dfrac{1}{2}$$

[ewert]

lampard в сообщении #513945 писал(а):

до какого члена раскладывать?

Эвристически -- до той степени включительно, которая в знаменателе. Только потом за всё это придётся отчитываться. И Вы вполне правильно делаете, аккуратно выписывая оценки погрешностей (кроме самого последнего шага; но там уж это и очевидно неважно). И совсем правильно, что используете "О-большое" вместо "о-маленького": это и гораздо информативнее (а значит, и полезнее), и сознательнее.

lampard в сообщении #513945 писал(а):

Или нужна точность выше?

Ну раз у Вас всё получилось -- значит, и не нужна. Хотя кое-что Вы выписали явно излишне. Можно было б предугадать, что для синуса выписывать кубические члены -- явное излишество. Но это несмертельно: ушли в конце концов те лишние члены -- ну и бог с ними.

lampard в сообщении #513945 писал(а):

А можно ли как-то показать, что ряд не имеет радиуса сходимости?

Можно, и очень легко. Раз уж ряд сугубо формально не является степенным -- соответственно, и понятие радиуса сходимости к нему сугубо формально не применимо. Т.е. это явный ляп в условии. Если Вы его точно воспроизвели.

[Null]

Я б во 2) сделал так: у нас степенной ряд по $\frac{1}{1-x}$ Обозначил бы это через $y$ и у получившегося ряда нашел радиус сходимости.

Правда результат будет зависеть от того что обозначить через $y$

[lampard]

Null в сообщении #514075 писал(а):

Я б во 2) сделал так: у нас степенной ряд по $\frac{1}{1-x}$ Обозначил бы это через $y$ и у получившегося ряда нашел радиус сходимости.

Правда результат будет зависеть от того что обозначить через $y$

Спасибо, действительно, можно так сделать.

В таком случае, у меня получилось $R=1$

-- 11.12.2011, 01:04 --

ewert в сообщении #514009 писал(а):

Эвристически -- до той степени включительно, которая в знаменателе. Только потом за всё это придётся отчитываться. И Вы вполне правильно делаете, аккуратно выписывая оценки погрешностей (кроме самого последнего шага; но там уж это и очевидно неважно). И совсем правильно, что используете "О-большое" вместо "о-маленького": это и гораздо информативнее (а значит, и полезнее), и сознательнее.

Ну раз у Вас всё получилось -- значит, и не нужна. Хотя кое-что Вы выписали явно излишне. Можно было б предугадать, что для синуса выписывать кубические члены -- явное излишество. Но это несмертельно: ушли в конце концов те лишние члены -- ну и бог с ними.

Можно, и очень легко. Раз уж ряд сугубо формально не является степенным -- соответственно, и понятие радиуса сходимости к нему сугубо формально не применимо. Т.е. это явный ляп в условии. Если Вы его точно воспроизвели.

Ок, спасибо, перепроверил условие - именно такой ряд и он назван степенным.

Т.е. Ряд с отрицательными степенями не может являться степенным?

[ewert]

lampard в сообщении #514115 писал(а):

Ряд с отрицательными степенями не может являться степенным?

Нет, не может. Он должен называться рядом Лорана. И для него понятия "радиус сходимости" не существует (ну разве что "радиусы сходимости", да и то это полужаргон).

Ваши два промежутка -- это пересечение комплексного кольца сходимости ряда Лорана с вещественной осью. С некоторыми оговорками:

1) судя по всему, у Вас пока что сугубо вещественная теория, и если в условии и впрямь выставлены слова "радиус сходимости", то лишь по, мягко говоря, недоразумению; следовательно:

2) Вы обязаны после нахождения интервалов сходимости дополнительно проанализировать поведение на их концах;

3) и, кстати, сами интервалы (т.е. "радиус", если уж упорствовать в безграмотности) Вы нашли неверно.

[lampard]

ewert в сообщении #514169 писал(а):

и, кстати, сами интервалы (т.е. "радиус", если уж упорствовать в безграмотности) Вы нашли неверно.

Спасибо, сейчас распишу подробно тогда!

Я так понял, что задание некорректно в том смысле, что понятие радиус в таких рядах лучше не использовать.

Насколько я понял, что область сходимости найти все-таки можно

-- 11.12.2011, 16:45 --

$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{(2n+1)(1-x)^{n+1}}$

По признаку Даламбера

$$\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\Big[\frac{3^{n+1}}{(2n+3)(1-x)^{n+2}}\cdot \frac{(2n+1)(1-x)^{n+1}}{3^n}\Big]=\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\Big[\frac{3}{(2n+3)(1-x)}\cdot \frac{(2n+1)}{1}\Big]=$$

$$=\dfrac{3}{1-x}\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2n+1}{2n+3}=\dfrac{3}{1-x}$$

При $\dfrac{3}{1-x}<1$ ряд сходится

$\dfrac{3}{1-x}-1<0$

$\dfrac{3-1+x}{1-x}<0$

$\dfrac{2+x}{1-x}<0$

При $x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$ ряд сходится.

При $x=1$ ряд расходится, так как ряд не определен при $x=1$

При $x=-2$ ряд расходится по предельному признаку сравнения с гармоническим рядом.

Радиуса сходимости данный ряд не имеет. Правильно?

[lampard]

То есть область сходимости $x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$

Радиуса сходимости -- нет.

[ewert]

lampard в сообщении #514306 писал(а):

По признаку Даламбера

$$\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\Big[\frac{3^{n+1}}{(2n+3)(1-x)^{n+2}}\cdot \frac{(2n+1)(1-x)^{n+1}}{3^n}\Big]$$

Уже не годится: признак Даламбера работает только для знакоположительных рядов. Потому и область неверна.

[lampard]

ewert в сообщении #514327 писал(а):

Уже не годится: признак Даламбера работает только для знакоположительных рядов. Потому и область неверна.

Хорошо, исправлюсь!

$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{(2n+1)(1-x)^{n+1}}$

По признаку Даламбера

$$\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\Big|\frac{3^{n+1}}{(2n+3)(1-x)^{n+2}}\Big|\cdot \Big|\frac{(2n+1)(1-x)^{n+1}}{3^n}\Big|=\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\Big|\frac{3}{(2n+3)(1-x)}\Big|\cdot \Big|\frac{(2n+1)}{1}\Big|=$$

$$=\Big|\dfrac{3}{1-x}\Big|\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2n+1}{2n+3}=\Big|\dfrac{3}{1-x}\Big|$$

При $\Big|\dfrac{3}{1-x}\Big|<1$ ряд сходится

$|x-1|<3$

$-3<x-1<3$

$-2<x<4$

При $x=-2$ ряд расходится по предельному признаку сравнения с гармоническим рядом.

При $x=4$ ряд сходится по признаку Лейбница

Радиус сходимости $R=3$

Правильно?!

[ewert]

lampard в сообщении #514332 писал(а):

$|x-1|<3$

Неверно.

Кроме того, не забывайте (это уже в дальнейшем): признак Даламбера даёт достаточное условие сходимости, но формально ничего ровным счётом не говорит о расходимости.