Разность множеств [Теория множеств]

[Whitaker]

Здравствуйте дорогие друзья!
Когда разбирал первую главу книги И.П.Натансона "ТФВП" там приводится одно тождество, которое я не смог доказать.
Пусть $A, B, C$ - множества, тогда $A \cap (B-C)=A \cap B - A \cap C$.
Для начала я положил, что $A \cap (B-C)=S$, $A \cap B - A \cap C=T$. Я пытался доказать, что $S \subset T$ и $T \subset S$, но ничего не получается.
Помогите пожалуйста разобраться.

С уважением, Whitaker.

[AD]

$B-C=B\cap \overline{C}$ и т.д.

[Whitaker]

AD в сообщении #513561 писал(а):

$B-C=B\cap \overline{C}$ и т.д.

Уважаемый AD!
А $\overline{C}$ что такое?

[svv]

Это дополнение множества $C$ (множество, составленное из тех и только тех элементов, которые не принадлежат $C$).
Тогда $B-C=B\cap \overline{C}$ -- это множество тех элементов, что принадлежат $B$ и не принадлежат $C$.

[Whitaker]

Спасибо уважаемый svv!
Если я Вас правильно понял, то тогда нужно доказать $A \cap \Big(B\cap \overline{C} \Big)=A\cap B-A\cap C$.
Пусть $x \in A \cap \Big(B\cap \overline{C} \Big)$,тогда $x\in A$ и $x\in B\cap \overline{C}$ , тогда $x\in A$ и $x\in B$ и $x\in \overline{C}$, тогда $x\in A$ и $x\in B$ и $x\notin {C}$, тогда $x \in A\cap B$ и $x\notin A\cap C$, тогда $x\in A\cap B-A\cap C$. Отсюда следует, что $A \cap \Big(B\cap \overline{C} \Big) \subset A\cap B-A\cap C$.
Я пока, что доказал включение только в одну сторону. Правильны ли мои рассуждения?

[svv]

Равенство двух множеств $A$ и $B$ далеко не всегда нужно доказывать по схеме "сначала докажем $A\subseteq B$, а потом $B\subseteq A$".
Это было бы утомительно, это всё равно что доказывать равенство $a=b$ всякий раз методом $(a\leqslant b) \wedge(b\leqslant a) \Rightarrow a=b$.

[Whitaker]

Честно говоря, другого пути решения я пока не вижу
Данное тождество можно доказать по-другому?
P.S. ТФДП предмет пока для меня новый. В книге другие тождества доказывали методом включений и я применил это.

[AD]

Просто комбинировать уже известные тождества. Типа там скобочки раскрывать, и т.п. Алгебра же.

[Whitaker]

А если сделать так?
$A \cap \Big(B \cap \overline{C} \Big)=\Big(A \cap B \Big)\cap \overline{C}=A\cap B - \overline{C}.$
Но как показать, что $\overline{C}=B\cap C$?

[svv]

Whitaker писал(а):

Но как показать, что $\overline{C}=B\cap C$?

А Вы этого не покажете, так как это неверно.
Ведь, только подумайте, что это означает? "Любой элемент, не принадлежащий $C$, принадлежит одновременно $B$ и $C$. И наоборот".
Я бы посоветовал так. Возьмите выражения $A \cap (B-C)$ и $A \cap B - A \cap C$, и в каждом из них избавьтесь от разности, выражая все только через пересечения, объединения, дополнения. А потом докажите равенство того, что получилось из первого и из второго выражения.

[Whitaker]

svv в сообщении #513623 писал(а):

Whitaker писал(а):

Но как показать, что $\overline{C}=B\cap C$?

А Вы этого не покажете, так как это неверно.
Ведь, только подумайте, что это означает? "Любой элемент, не принадлежащий $C$, принадлежит одновременно $B$ и $C$. И наоборот".

Ну я да здесь я допустил ошибку. Это вообще ничего не означает

-- Пт дек 09, 2011 19:12:15 --

Уважаемый svv!
Я последую Вашему совету и напишу сразу то, что у меня получилось

-- Пт дек 09, 2011 19:29:26 --

У меня получилось следующее:
$A \cap \Big(B-C\Big)=A \cap\Big(B\cap \overline{C} \Big)$
$A\cap B-A\cap C=\Big(A\cap B \Big)\cap\Big(\overline{A\cap C \Big})$

[svv]

Отлично. Так как операция $\cap$ ассоциативна, можно не ставить скобки и записать результаты в виде $A \cap B\cap \overline{C}$ и $A\cap B \cap \overline{A\cap C}$.
Во втором выражении к терму $\overline{A\cap C}$ примените закон де Моргана (первый).

[Whitaker]

Применив закон де Моргана я получил:
$\overline{A \cap C}=\overline{A}\cup\overline{C}$
Получаем, что:
$A \cap B \cap \overline{A \cap C}=A \cap B \cap \Big(\overline{A}\cup\overline{C} \Big)$.
Наверное здесь уже нужно применить формулу $A\cap \Big(\bigcup \limits_{\xi} E_{\xi} \Big)=\bigcup \limits_{\xi}\Big(A\cap E_{\xi}\Big)$ ???

[svv]

Абсолютно верно!
$A\cap \Big(\bigcup \limits_{\xi} E_{\xi} \Big)=\bigcup \limits_{\xi}\Big(A\cap E_{\xi}\Big)$ -- это "убойный" вариант. Он, конечно, часто полезен. Но следует также помнить дистрибутивный закон и в таком простом виде:
$P\cap(Q\cup R)=(P\cap Q) \cup (P\cap R)$

[Whitaker]

Уважаемый svv я вот на листочке расписал и получил требуемое: т.е. они равны.
Значит всё да?