Второй дифференциал при замене переменных

[Joker_vD]

Есть функция $f(x_1,\ldots,x_n)$, есть замена переменных $x_i=x_i(u_1,\ldots,u_m),\; i=\overline{1,m}$. Нужно вычислить $d^2\!f$ в новых переменных $u_1,\ldots,u_m$.

После долгих и грустных вычислений я получил

$$d^2\!f = \sum\limts_{i=1}^{m}\sum\limts_{j=1}^{m}\left[\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{\partial^2 x_k}{\partial u_i \partial u_j} + \sum\limits_{l=1}^{n}\frac{\partial^2 f}{\partial x_l \partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial u_j}\frac{\partial x_l}{\partial u_i}\right)\right]du_i du_j.$$

Правда ли это? И есть ли какая-нибудь система обозначений, упрощающая процесс замены переменных? Я-то честно выписал $df$, сделал замену переменных и продифференцировал, но... может, есть какие-нибудь векторно-матричные обозначения, которые позволили бы вон ту штуковину записать покомпактнее?

[Утундрий]

Разве что чисто редакторские, например $\[ f_{,i} \equiv {{\partial f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial f} {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }} \] $. Да еще правило суммирования Эйнштейна тож подмогнёт сократнуть.

[svv]

$$\frac{\partial^2 f }{\partial u_i \partial u_j}=\frac{\partial}{\partial u_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_k} \frac{\partial x_k}{\partial u_j}\right ) =\frac{\partial}{\partial u_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_k}\right ) \frac{\partial x_k}{\partial u_j}\;+\;\frac{\partial f}{\partial x_k} \frac{\partial^2 x_k}{\partial u_i\partial u_j}= \frac{\partial^2 f}{\partial x_l \partial x_k}\frac{\partial x_l}{\partial u_i}\frac{\partial x_k}{\partial u_j}\;+\;\frac{\partial f}{\partial x_k} \frac{\partial^2 x_k}{\partial u_i\partial u_j}$$

[Утундрий]

$\[ \begin{gathered} f = f\left( x \right) \hfill \\ x^i = x^i \left( u \right) \hfill \\ df = f_i dx^i = f_i x_{,k}^i du^k \hfill \\ d^2 f = \left( {f_{ij} x_{,k}^i x_{,m}^j + f_i x_{,km}^i } \right)du^k du^m + f_i x_{,k}^i d^2 u^k \hfill \\ \end{gathered} \]$

...если уж совсем "для себя, не на продажу".