2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Второй дифференциал при замене переменных
Сообщение08.12.2011, 22:09 
Есть функция $f(x_1,\ldots,x_n)$, есть замена переменных $x_i=x_i(u_1,\ldots,u_m),\; i=\overline{1,m}$. Нужно вычислить $d^2\!f$ в новых переменных $u_1,\ldots,u_m$.

После долгих и грустных вычислений я получил $$d^2\!f = \sum\limts_{i=1}^{m}\sum\limts_{j=1}^{m}\left[\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{\partial^2 x_k}{\partial u_i \partial u_j} + \sum\limits_{l=1}^{n}\frac{\partial^2 f}{\partial x_l \partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial u_j}\frac{\partial x_l}{\partial u_i}\right)\right]du_i du_j.$$

Правда ли это? И есть ли какая-нибудь система обозначений, упрощающая процесс замены переменных? Я-то честно выписал $df$, сделал замену переменных и продифференцировал, но... может, есть какие-нибудь векторно-матричные обозначения, которые позволили бы вон ту штуковину записать покомпактнее?

 
 
 
 Re: Второй дифференциал
Сообщение09.12.2011, 00:19 
Аватара пользователя
Разве что чисто редакторские, например $\[
f_{,i}  \equiv {{\partial f} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial f} {\partial x_i }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}
\]
$. Да еще правило суммирования Эйнштейна тож подмогнёт сократнуть.

 
 
 
 Re: Второй дифференциал
Сообщение09.12.2011, 00:46 
Аватара пользователя
$$\frac{\partial^2 f }{\partial  u_i \partial  u_j}=\frac{\partial}{\partial  u_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_k} \frac{\partial x_k}{\partial u_j}\right )
=\frac{\partial}{\partial  u_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_k}\right ) \frac{\partial x_k}{\partial u_j}\;+\;\frac{\partial f}{\partial x_k} \frac{\partial^2 x_k}{\partial  u_i\partial u_j}=
\frac{\partial^2 f}{\partial  x_l \partial x_k}\frac{\partial x_l}{\partial u_i}\frac{\partial x_k}{\partial u_j}\;+\;\frac{\partial f}{\partial x_k} \frac{\partial^2 x_k}{\partial  u_i\partial u_j}$$

 
 
 
 Re: Второй дифференциал
Сообщение09.12.2011, 00:54 
Аватара пользователя
$\[
\begin{gathered}
  f = f\left( x \right) \hfill \\
  x^i  = x^i \left( u \right) \hfill \\
  df = f_i dx^i  = f_i x_{,k}^i du^k  \hfill \\
  d^2 f = \left( {f_{ij} x_{,k}^i x_{,m}^j  + f_i x_{,km}^i } \right)du^k du^m  + f_i x_{,k}^i d^2 u^k  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$

...если уж совсем "для себя, не на продажу".

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group