Ряды

[Samir]

Требуется доказать, что сумма ряда $\sum_{i=n+1}^{\infty} (\frac {1} {i})^\frac {4} {3}}$ стремится к $0$ при $n \to \infty$. Я пытаюсь найти ряд, сумма которого известна и каждый член которого не меньше соответствующего члена исходного ряда. Правильно я делаю или есть другой способ?

[Dan B-Yallay]

Этот ряд сходится?

[SpBTimes]

А вы слышали про ряд $\sum \limits_{n= 1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$?

[Samir]

я знаю, что он сходится. Но как это относится к тому, что его остаток должен стремится к 0?

[Dan B-Yallay]

Samir в сообщении #512751 писал(а):

я знаю, что он сходится. Но как это относится к тому, что его остаток должен стремится к 0?

Критерий Коши?

[Samir]

А! Точно. Извините за глупый вопрос

[Dan B-Yallay]

А еще можно промажорировать "хвост" интегралом и показать, что последний стремится к нулю.

[Someone]

Раз уж Вы знаете, что ряд сходится...
Обозначим $S$ сумму ряда $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\left(\frac 1i\right)^{\frac 43}$, $S_n$ - его $n$-ную частичную сумму, $r_n$ - его $n$-ный остаток, то есть, $\sum\limits_{i=n+1}^{\infty}\left(\frac 1i\right)^{\frac 43}$. Тогда $r_n=S-S_n$. И до решения задачи остались буквально считанные секунды...

[ewert]

Someone в сообщении #512766 писал(а):

Раз уж Вы знаете, что ряд сходится...

... то остаток стремится к нулю по определению сходимости ряда и его суммы.