2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Взятие несобственного интеграла.
Сообщение07.12.2011, 21:32 


29/09/11
23
Помогите пожалуйста взять интеграл:
$\int_{0}^{+\infty}{\frac{\sin^3x\cos{ax}}{x^3}}$
, $a>3$
Идей в общем то нет. Разе что в задании написано, что нужно использовать интеграл Дирихле или Фруллани. Дифференцированием по a можно подогнать под что-то похожее на интеграл Дирихле, но мешает синус в кубе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение07.12.2011, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Для начала просто продифференцируйте, обосновывая переходы. А потом понижайте степень

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение07.12.2011, 23:14 


20/12/09
1527
$sin^3x=\frac 3 4 sinx-\frac 1 4 sin3x$

-- Ср дек 07, 2011 23:37:24 --

Интегрировать по частям, чтобы избавиться от куба в знаменателе и привести к интегралам Дирихле.

 i  Ales,

ну что Вам стоит палочки перед синусами ставить, как у всех: \sin x
//AKM

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение08.12.2011, 10:51 


29/09/11
23
В том и проблема, что не получается выбрать части так, чтобы привести к интегралам Дирихле. (Если брать по таким частям: $u=\sin x\cos{ax}$ , $v'=\frac{1}{x^3}$, то $\frac{\sin x\cos{ax}}{x^2}$ не имеет конечного предела в нуле)

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение08.12.2011, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Дак
SpBTimes в сообщении #512666 писал(а):
Для начала просто продифференцируйте

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение08.12.2011, 11:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Peek-A-Boo в сообщении #512831 писал(а):
не получается выбрать части

Не "выбрать части", а "проинтегрировать два раза по частям". Предварительно понизив степени до первой. Тогда в числителе будет сумма неважно каких, но -- синусов, и после двукратного интегрирования по частям она так и останется суммой каких-то синусов. А вот зачем в условии ограничение $a>3$ -- это загадка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение08.12.2011, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Когда начнёшь щепить этот косинус на синусы, там может вылезти эффект того же рода, что в интеграле Борвейна. Вот для того и ограничили.

-- Чт, 2011-12-08, 12:46 --

http://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение08.12.2011, 17:13 


29/09/11
23
Спасибо. Теперь такая проблема - получается, что интеграл равен константе, не зависящей от а. Обычно такие константы находил, подставляя вместо параметра в исходный интеграл какое-нибудь число, при котором он легко считается, но тут так сделать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение09.12.2011, 08:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ИСН в сообщении #512847 писал(а):
Когда начнёшь щепить этот косинус на синусы, там может вылезти эффект того же рода, что в интеграле Борвейна.

Какой такой эффект-то?... Каждое из двух интегрирований по частям заведомо корректно, т.к. числитель в каждом случае стремится к нулю в нуле заведомо достаточно быстро. Ну а уж щепить его на синусы или не щепить -- это сугубая формальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение09.12.2011, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Эффект такой, что там выскочат какие-нибудь модули, которые в зависимости от этого будут раскрываться так или иначе. Взять-то его можно, конечно, в любом слчуае; просто при $a>3$ ответ выглядит проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение09.12.2011, 09:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да какие там модули-то:

$\int\limits_0^{+\infty}\frac{f(x)}{x^3}\,dx=\frac12\int\limits_0^{+\infty}\frac{f'(x)}{x^2}\,dx=\frac12\int\limits_0^{+\infty}\frac{f''(x)}{x}\,dx$

(поскольку все интегралы очевидно сходятся и все внеинтегральные члены очевидно равны нулю). А в последнем числителе очевидно получится какая-то линейная комбинация каких-то синусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие несобственного интеграла.
Сообщение11.12.2011, 17:22 


29/09/11
23
Решил проблему с константой. Оказывается, нужно сразу брать по частям, не дифференцируя по параметру. Всем спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group