Взятие несобственного интеграла.

[Peek-A-Boo]

Помогите пожалуйста взять интеграл:
$\int_{0}^{+\infty}{\frac{\sin^3x\cos{ax}}{x^3}}$ , $a>3$
Идей в общем то нет. Разе что в задании написано, что нужно использовать интеграл Дирихле или Фруллани. Дифференцированием по a можно подогнать под что-то похожее на интеграл Дирихле, но мешает синус в кубе.

[SpBTimes]

Для начала просто продифференцируйте, обосновывая переходы. А потом понижайте степень

[Ales]

$sin^3x=\frac 3 4 sinx-\frac 1 4 sin3x$

-- Ср дек 07, 2011 23:37:24 --

Интегрировать по частям, чтобы избавиться от куба в знаменателе и привести к интегралам Дирихле.

Ales,

ну что Вам стоит палочки перед синусами ставить, как у всех: \sin x
//AKM

[Peek-A-Boo]

В том и проблема, что не получается выбрать части так, чтобы привести к интегралам Дирихле. (Если брать по таким частям: $u=\sin x\cos{ax}$ , $v'=\frac{1}{x^3}$, то $\frac{\sin x\cos{ax}}{x^2}$ не имеет конечного предела в нуле)

[ИСН]

Дак

SpBTimes в сообщении #512666 писал(а):

Для начала просто продифференцируйте

[ewert]

Peek-A-Boo в сообщении #512831 писал(а):

не получается выбрать части

Не "выбрать части", а "проинтегрировать два раза по частям". Предварительно понизив степени до первой. Тогда в числителе будет сумма неважно каких, но -- синусов, и после двукратного интегрирования по частям она так и останется суммой каких-то синусов. А вот зачем в условии ограничение $a>3$ -- это загадка.

[ИСН]

Когда начнёшь щепить этот косинус на синусы, там может вылезти эффект того же рода, что в интеграле Борвейна. Вот для того и ограничили.

-- Чт, 2011-12-08, 12:46 --

http://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral же.

[Peek-A-Boo]

Спасибо. Теперь такая проблема - получается, что интеграл равен константе, не зависящей от а. Обычно такие константы находил, подставляя вместо параметра в исходный интеграл какое-нибудь число, при котором он легко считается, но тут так сделать нельзя.

[ewert]

ИСН в сообщении #512847 писал(а):

Когда начнёшь щепить этот косинус на синусы, там может вылезти эффект того же рода, что в интеграле Борвейна.

Какой такой эффект-то?... Каждое из двух интегрирований по частям заведомо корректно, т.к. числитель в каждом случае стремится к нулю в нуле заведомо достаточно быстро. Ну а уж щепить его на синусы или не щепить -- это сугубая формальность.

[ИСН]

Эффект такой, что там выскочат какие-нибудь модули, которые в зависимости от этого будут раскрываться так или иначе. Взять-то его можно, конечно, в любом слчуае; просто при $a>3$ ответ выглядит проще.

[ewert]

Да какие там модули-то:

$\int\limits_0^{+\infty}\frac{f(x)}{x^3}\,dx=\frac12\int\limits_0^{+\infty}\frac{f'(x)}{x^2}\,dx=\frac12\int\limits_0^{+\infty}\frac{f''(x)}{x}\,dx$

(поскольку все интегралы очевидно сходятся и все внеинтегральные члены очевидно равны нулю). А в последнем числителе очевидно получится какая-то линейная комбинация каких-то синусов.

[Peek-A-Boo]

Решил проблему с константой. Оказывается, нужно сразу брать по частям, не дифференцируя по параметру. Всем спасибо за помощь.