ограниченные решения

[Oleg Zubelevich]

В $\mathbb{R}^m$ введено стандартное скалярное произведение. $B\subset\mathbb{R}^m$ -- единичный замкнутый шар с центром в нуле.
Рассмотрим гладкую систему ДУ

$$\dot x=f(t,x),\quad (t,x)\in\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^m.\qquad (*)$$

Доказать, что если для всех $x\in \partial B,\quad t\ge 0$ выполнено неравенство $(x,f(t,x))>0$ то система (*) имеет решение $x(t)$ не покидающее шар $B$ при всех $t\ge 0$.

[Хорхе]

Пусть $\xi(t,x)$ -- значение в момент $t$ решения, стартующего из точки $x$. Предположим, что все решения убегают из шара, и $t(x) = \min\{s:|\xi(s,x)|=1\}$. Тогда $t(x)$, а потому и $g(x) = \xi(t(x),x)$, будет непрерывной. Действительно, существует $\varepsilon>0$ т.ч. $(x,f(t,x))>\varepsilon$ при $|x|>1-\varepsilon$. Тогда время выхода из единичного шара (равномерно по $x$!) не сильно отличается от выхода из шара радиуса $1-\varepsilon$. В этот момент все решения с близким начальным условием еще не вышли из шара единичного радиуса, а в момент выхода из единичного шара они уже вышли из шара радиуса $1-\varepsilon$, поэтому очень скоро выйдут и из единичного.

Получили непрерывную функцию $g$ из шара в сферу, тождественную на сфере, противоречие.

[Oleg Zubelevich]

ok

[Dave]

Хорхе в сообщении #512582 писал(а):

Действительно, существует $\varepsilon>0$ т.ч. $(x,f(t,x))>\varepsilon$ при $|x|>1-\varepsilon$

А если $(x,f(t,x)) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow + \infty$?

[Хорхе]

Это правда, там есть равномерность по $x$, но не по $t$. Сейчас подумаю.

-- Ср дек 07, 2011 22:22:44 --

Ну все получается. Давайте чуть поаккуратнее напишем. Существуют $c,\varepsilon\in[0,1]$, что $(x,f(t,x))>c$ для $|x-g(x_0)|+ |t-t(x_0)|<\varepsilon$. Далее, для любого $\delta\in(0,\varepsilon \min(1/2,c))$ существует $\eta$, что $\sup_{t\in[0,t(x_0)]}|\xi(x,t)-\xi(x_0,t)|<\delta$ для $|x-x_0|<\eta$. Тогда $|\xi(t(x_0),x)-g(x_0)|<\delta$, и потому $t(x)\le t(x_0)+\delta/c$. С другой стороны, если $t_\delta(x)$ -- время выхода из шара $1-\delta$, имеем, что $t(x)\ge t_\delta(x_0)\ge t(x_0)-\delta/c$. Ну как-то так, в точности эпсилонов не уверен.

[Oleg Zubelevich]

Вот я как-то выкладки Хорхе не проверял. Он сослался на невозможность ретракта шара на границу -- идея правильная.
Действительно, глобальных высказываний типа

Хорхе в сообщении #512582 писал(а):

существует $\varepsilon>0$ т.ч. $(x,f(t,x))>\varepsilon$ при $|x|>1-\varepsilon$

делать не надо. Предположили, что любая траектория выходит на границу. Дальше непрерывность отображения доказывается локально в каждой точке с помощью теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных.