ангем: найти плоскость по расстоянию до трех заданных точек

[ewert]

gris в сообщении #512406 писал(а):

Решаем задачу: провести плоскость, проходящую через начало координат и касающуюся двух заданных сфер.

Конечно. А как конкретно?...

[gris]

Я к чему. Поскольку ТС в ужасе убёг, когда к нему в песочницу поналезли серьёзные дядьки с перфораторами помогать лепить куличик, то изложу мысль. Большинство учащихся хочет получить формулу для решения в наиболее общем виде и даже не смотрит на условие, не пытается его представить визуально или упростить.
Одну плоскость видно если не сразу, то после переноса. После этого остаются два уравнения с двумя неизвестными, причём очевидно получаются две линейные замены.
Железные же шары и пластмассовая плоскость позволяют хотя бы представить, что мы ищем и сколько может быть решений.

[ewert]

gris в сообщении #512424 писал(а):

Одну плоскость видно если не сразу, то после переноса.

Но остальные-то три всё равно придётся искать честно (я, правда, не считал и, строго говоря, не знаю, будет ли их именно три). Хотя сам по себе перенос -- вещь действительно полезная.

[gris]

Там легко получается целочисленное решение и отрицательный дискриминант.

[hurtsy]

gris в сообщении #512424 писал(а):

Железные же шары и пластмассовая плоскость позволяют хотя бы представить, что мы ищем и сколько может быть решений.

Железо это не технологично. Учитывая время года можно использовать вкусную бабушкину технологию. И пересчитать решения достаточно просто. Тяжелее наверно изготовить шар в шаре, но "мысленно" это "пара пустяков". С уважением,

[gris]

Вы колобка имеете в виду?
Вообще, теоретически может быть бесконечное множество плоскостей.
Например, для аналогичной задачи с условиями: $(0,0,-2), (0,0,2), (0,0,0),1,1,0.$

Если шар в шаре (строго), то решений не будет.

[svv]

(zipo666)

Видите, я же обещал, что помогут

[zipo666]

Ну , многое описанное здесь - уже было мною найдено , как я написал выше , я решил найти D , и подставив его в первое ур-е , я и нашел , что |A-B-C|=1 ...Дальше я не смог дорешать данную систему :)

Второй момент , это , цитирую :

"Я к чему. Поскольку ТС в ужасе убёг, когда к нему в песочницу поналезли серьёзные дядьки с перфораторами помогать лепить куличик, то изложу мысль. Большинство учащихся хочет получить формулу для решения в наиболее общем виде и даже не смотрит на условие, не пытается его представить визуально или упростить. "

Во первых я не убег , а продолжил решать задачу , и не смотря на то , что я ее таки не решил ... это не означает , что я не пытался все это представить в уме ...И получить общую формулу я не хочу , я просто хочу решить это задание , дабы убедиться , что эту тему я понял , и если мне подобное попадется на колоквиуме - то я как минимум буду готов к этому :)

И да , поясните подробнее , все таки как решать ?Я так понимаю , что тут было бы выгоднее пользоваться уравнением плоскости выраженным через синус косинус и перпендикуляр (одним словом нормальным уравнением )...Ведь нам таки даны 3 расстояния ..и вот надо еще что то .... Через сферу - и т.д мне как то не очень хотелось бы решать , благо мы до этих вещей еще не дошли , а значит и использовать их не можем )

[gris]

zipo666, моя шутка относилась не к Вам
Я в самом первом Вашем сообщении увидел намёки на решение, но я всегда стремлюсь упрощать.
Итак, сначала смещаем всё это дело параллельно на $(-5,-2,0)$ так, чтобы третья точка, через которую проходит плоскость, сместилась в начало координат.

Через неё проходят плоскости вида $Ax+By+Cz=0$. Первая точка станет $(1,-1,-1)$, а вторая $(-5,3,4)$. Расстояния сохраняются: 1 и 3.
Сразу видно одно решение, но это не важно.

Теперь напишем формулы расстояний от плоскости до точек. И рассмотрим два случая: $A=0$ и $A\ne 0$

Вот прямо из Вашего первого сообщения. И ещё расстояние до второй точки.

$\dfrac {|A-B-C|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=1$


$\dfrac {|-5A+3B+4C|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=3$

Такую систему решать даже приятно. Вначале поанализируем первое уравнение и разберёмся с $A$, потом приравняем числители.

[hurtsy]

gris в сообщении #512458 писал(а):

Вы колобка имеете в виду?

Вы угадали! Я хотел как то избавиться от перфоратора.

gris в сообщении #512458 писал(а):

Вообще, теоретически может быть бесконечное множество плоскостей.

Ага, несчетное. Я был неправ насчет достаточно просто пересчитать.

zipo666 в сообщении #512477 писал(а):

Ведь нам таки даны 3 расстояния ..и вот надо еще что то .... Через сферу - и т.д мне как то не очень хотелось бы решать , благо мы до этих вещей еще не дошли , а значит и использовать их не можем )

Ну и правильно. А обсуждение возникло из-за отсутствия Вашего решения.
С уважением.

[zipo666]

Спасибо всем огромное , за помощь и участие в дискуссии , благодарю :)Разобрался :))

[Someone]

zipo666 в сообщении #512303 писал(а):

Написать уравнение плоскости ,зная ее расстояние от трех точек $А(6,1,-1), В(0,5,4), С(5,2,0)$ .., а именно :
$d_1=1; d_2=3; d_3=0$.

Алексей К. в сообщении #512359 писал(а):

Someone в сообщении #512348 писал(а):

1) можно считать, что $A^2+B^2+C^2=1$, поскольку этого всегда можно добиться, умножив уравнение плоскости на подходящий коэффициент;

Нельзя, по-моему, так считать.
Найдя какую-то версию решения $\{A,B,C,D\}$, такую, что $\{Ax_i+By_i+Cz_i+D=d_i$, но $A^2+B^2+C^2=n^2\not=1$, Вы последующей нормировкой типа $A'=A/n,\:\ldots,\:D'=D/n$ испортите исходные условия:

$$A'x_i+B'y_i+C'z_i+D'\equiv\frac{A'x_i+B'y_i+C'z_i+D'}{\sqrt{A'^2+B'^2+C'^2}}={\color{blue}\frac{d_i}n}\neq d_i.$$

Вы что? Кто Вас заставляет такие "решения" искать, да ещё нормировать, да ещё "выделять это синеньким", если наложено требование $A^2+B^2+C^2=1$? Такие "решения" надо отбрасывать не глядя. Вообще, я усиленно намекал, что нужно записать уравнение плоскости в виде $A(x-5)+B(y-2)+Cz=0$, где $A^2+B^2+C^2=1$ (попробуйте доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку $(5,2,0)$ нельзя в таком виде записать) и решать систему

$$\begin{cases}|A-B-C|=1,\\ |-5A+3B+4C|=3,\\ A^2+B^2+C^2=1.\end{cases}$$

ewert в сообщении #512384 писал(а):

Someone в сообщении #512373 писал(а):

Там же однородное выражение нулевого измерения

Что это такое?...

$f(A,B,C,D)=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ удовлетворяет условию $f(kA,kB,kC,kD)=k^0f(A,B,C,D)$.

ewert в сообщении #512384 писал(а):

Ваше предложение однородность как раз и отменяет.

??? Почему явное использование однородности, чтобы избежать системы иррациональных уравнений - это плохо?

[Алексей К.]

Someone в сообщении #512649 писал(а):

Вообще, я усиленно намекал, что нужно записать уравнение плоскости в виде...

Замечу лишь, что здесь я такого намёка не увидел. Тем более, "усиленного" намёка. "Усиленный" намёк, по крайней мере, включил бы отказ от предыдущей системы, выписанной тремя постами выше автором Eiffel (системы, вполне работоспособной).

Проблема, оказывается, не в математике, а в восприимчивости к намёкам. Извините, что сразу не понял.

-- 07 дек 2011, 22:55:02 --

ewert, сорри, если Вы повелись на писанину из-за меня.

[Someone]

Алексей К. в сообщении #512669 писал(а):

Проблема, оказывается, не в математике, а в восприимчивости к намёкам. Извините, что сразу не понял.

Ну что Вам сказать? Если буквально последовать моим двум советам, то сразу и получается выписанная мной система.

Алексей К. в сообщении #512669 писал(а):

"Усиленный" намёк, по крайней мере, включил бы отказ от предыдущей системы, выписанной тремя постами выше автором Eiffel (системы, вполне работоспособной).

Зачем от неё отказываться? Добавляем к ней условие $A^2+B^2+C^2=1$ и исключаем $D$ с помощью третьего уравнения, в результате чего получается моя система. А с работоспособностью не спорю.