ангем: найти плоскость по расстоянию до трех заданных точек

[zipo666]

Написать уравнение плоскости ,зная ее расстояние от трех точек $А(6,1,-1), В(0,5,4), С(5,2,0)$ .., а именно :
$d_1=1; d_2=3; d_3=0$.

Сам я пытался решить эту задачу , в результате моего решения у меня вышло , что $\frac {|A-B-C|}{|\sqrt{A^2+B^2+C^2}|}=1$.

[Eiffel]

Ну давайте размышлять.

В аналитической геометрии известен факт, что расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной общим уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, вычисляется формулой:

$$\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Тогда учитывая условия вашей задачи, запишем уравнения:
1) $\frac{|6A+B-C+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=1$
2) $\frac{|5B+4C+D|}{\sqrt{B^2+C^2}}=3$
3) $\frac{|5A+2B+D|}{\sqrt{A^2+B^2}}=0$

А вот с системой действительно проблема.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B5a%2B2b%2Bd%3D0%2C+5b%2B4c%2Bd%3D3*sqrt%28b%5E2%2Bc%5E2%29+%2C6a%2Bb-c%2Bd%3Dsqrt%28a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%29%7D

[Алексей К.]

Eiffel,

Вы ужасно напутали: с чего это знаменатели в 2) и 3) стали такими куцыми?

[Eiffel]

Прошу прощения действительно поторопился.

1) $\frac{|6A+B-C+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=1$
2) $\frac{|5B+4C+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=3$
3) $\frac{|5A+2B+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... %5E2%29%7D

[Алексей К.]

И модули там вряд ли нужны: расстояния в таких задачах обычно знак подразумевают (типа выше-ниже плоскости).

[Legioner93]

Алексей К. в сообщении #512339 писал(а):

И модули там вряд ли нужны: расстояния в таких задачах обычно знак подразумевают (типа выше-ниже плоскости).

А спереди-сзади? Слева-справа? Не очень понятно, какой знак выбирать в произвольном случае.

[Someone]

Нужны модули. Расстояние - величина существенно неотрицательная. А знак у выражения $Ax+By+Cz+D$ может быть случайным, смотря куда нормальный вектор направлен.

Советы:
1) можно считать, что $A^2+B^2+C^2=1$, поскольку этого всегда можно добиться, умножив уравнение плоскости на подходящий коэффициент;
2) поскольку плоскость проходит через третью точку, величина $D$ сразу выражается через $A,B,C$.

И давайте не будем нарушать правила и решать задачу вместо zipo666.

[Алексей К.]

Someone в сообщении #512348 писал(а):

1) можно считать, что $A^2+B^2+C^2=1$, поскольку этого всегда можно добиться, умножив уравнение плоскости на подходящий коэффициент;

Нельзя, по-моему, так считать.
Найдя какую-то версию решения $\{A,B,C,D\}$, такую, что $\{Ax_i+By_i+Cz_i+D=d_i$, но $A^2+B^2+C^2=n^2\not=1$, Вы последующей нормировкой типа $A'=A/n,\:\ldots,\:D'=D/n$ испортите исходные условия:

$$A'x_i+B'y_i+C'z_i+D'\equiv\frac{A'x_i+B'y_i+C'z_i+D'}{\sqrt{A'^2+B'^2+C'^2}}={\color{blue}\frac{d_i}n}\neq d_i.$$

Квадратного уравнения типа $A(D)^2+B(D)^2+C(D)^2=1$ (или эквивалентной тригонометрии) не избежать.

-- 07 дек 2011, 10:48:43 --

А уравнения вполне приличные, только надо догадаться до...

[Someone]

Алексей К. в сообщении #512359 писал(а):

Вы ... испортите

Не испорчу. Там же однородное выражение нулевого измерения относительно $A,B,C,D$.

[Алексей К.]

Испортите. Выше в формуле выделил синеньким. И (необходимых) двух решений \begin{picture}(40,40)\put(0,0){\line(2,3){25}}\put(40,0){\line(-2,3){25}}\put(20,2){\circle*{2}}\put(20,10){\circle*{2}}\put(20,20){\circle*{2}}\end{picture} не получите.

[ewert]

Someone в сообщении #512373 писал(а):

Там же однородное выражение нулевого измерения

Что это такое?...

Ваше предложение однородность как раз и отменяет. Если положить длину вектора единичной и временно забыть об этом, то решением оставшейся системы линейных уравнений будет некоторая прямая (точнее, четыре прямых -- после снятия модулей):

$A=\alpha_1+\beta_1D,\ B=\alpha_2+\beta_2D,\ C=\alpha_3+\beta_3D\ (\forall D).$

Ну или можно действительно заранее исключить $D$, неважно. В любом случае: подстановка всего этого в условие нормировки даст некоторое нетривиальное квадратное уравнение для свободного параметра. Соответственно, и решений будет два (если забыть о модулях; а если вспомнить, то восемь), но как минимум половина из них отбракуются неправильностью знаков числителей.

[Алексей К.]

ewert в сообщении #512384 писал(а):

но как минимум половина из них...

Ровно половина. Достаточно перерешать варианты $(d_1,d_2,d_3),\:(d_1,-d_2,d_3),\:(d_1,d_2,-d_3),\:(d_1,-d_2,-d_3)$. Остальное - одновременная замена знаков у ABCD. (А здесь одно d ноликом сделали, ещё проще).

[ewert]

Алексей К. в сообщении #512389 писал(а):

Остальное - одновременная замена знаков у ABCD.

Вот это ровно и означает, что восемь потенциально возможных решений заведомо распадаются на четыре пары геометрически эквивалентных. Но может случиться и так, что не все эти пары будут реализовываться.

Контрпример. Представьте себе случай, когда плоскость, проходящая через заданные точки, расположена очень далеко от начала координат. А те две точки, расстояние до которых ненулевое -- наоборот, очень близки друг к дружке. Если для определённости потребовать, чтобы коэффициент $D$ был положительным, то в принципе могло бы быть четыре решения. Однако фактически возможны лишь два: когда числители для этих двух точек оба положительны или оба отрицательны. А вот случаи, когда эти числители разных знаков -- невозможны, т.к. для этого плоскости пришлось бы пройти между этими двумя точками.

[gris]

Я предлагаю альтернативный вариант.
Смещаем третью точку в начало координат. Решаем задачу: провести плоскость, проходящую через начало координат и касающуюся двух заданных сфер.
Причём одну плоскость видно даже без розовых очков.
А это чисто формально решает задачу, поскольку там не требуется найти все плоскости. Это была шутка.

[Алексей К.]

ewert в сообщении #512400 писал(а):

Но может случиться и так, что не все эти пары будут реализовываться.

Ну ясен пень, дискриминанты бывают отрицательные. Что здесь и имеет место в одном из вариантов $(d_1,\pm d_2,0)$.

В данной задачке: да, найдя произвольное решение системы $\left\{\frac{Ax_i+By_i+Cz_i+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=d_i\,\right.$, мы вправе умножить коэффициенты на любой не-ноль. Но нет оснований применять этот трюк к произвольному решению системы $\left\{\frac{Ax_i+By_i+Cz_i+D}1=d_i\,\right.$,