лемма и доказательство мал теоремы Ферма с её помощью

[tavrik]

1) p простое число; a целое. НОД(p,a) равен 1
доказать, что числа $0\cdot\ a, 1\cdot\ a, ..., (p-1)\cdot\ a$ при делении на p дают различные остатки.

то, что они не делятся на без остатка(кроме 0) понятно, но как доказать, что остаток во всех разный?
это из за эквивалентных групп образуемые 0, 1, 2,...,(p-1) ? (возможно группами я их называю неправильно).
может быть, здесь надо доказывать методом матем индукции? для а=1 тривиально выполняется...

2) доказать малую теорему Ферма с помощью первого вопроса
3) опровергнтуть утверждение обратное малой теореме Ферма.
т.е. если есть натуральное число n так что $a^n\equiv a\pmod{n}$ для любого целого a - можно ли сделат вывод что n просто число.
Ну тут есть контрпримеры в интернете, тн "псевдопростые" числа - точнее число Кармайкла, наименьшее из которых 561.

[Shadow]

tavrik в сообщении #512385 писал(а):

что они не делятся на без остатка(кроме 0) понятно, но как доказать, что остаток во всех разный?

Может, методом от противного

[tavrik]

спасибо, да так и есть.
сам не допер но нашел - http://educationfor.narod.ru/math.html#9