Определение координат события радарным методом

[В. Войтик]

В теме "Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО" возник вопрос о том как же определить координаты события способом Пуанкаре - Эйнштейна, т.е. радарным методом в жёсткой неинерциальной системе отсчёта. Сразу оговорюсь, что я не знаю как это делается в нестационарной системе отсчёта. Могу лишь написать некоторые формулы относящиеся к стационарной неинерциальной жёсткой системе отсчёта. Такая система отсчёта обладает постоянными собственным ускорением $\mathbf{W}$ и собственной угловой скоростью $\mathbf{\Omega}$. При этом метрика этой системы отсчёта в декартовых координатах $\mathbf{r} $ и мировым временем $t$ синхронизированным с физическим временем наблюдателя есть
$\[{{g}_{00}}={{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}}\]$ (1)
$\[{{g}_{0\alpha }}=-{{e}_{\alpha \beta \gamma }}{{\Omega }_{\beta }}{{r}_{\gamma }}\] $ (2)
$\[{{g}_{\alpha \beta }}=-{{\delta }_{\alpha \beta }}\] $ (3)

Очевидно, что в такой системе отсчёта найденная координата события $\mathbf{r} $ будет отличаться от формулы Пуанкаре для инерциальной системы

$\mathbf{r=n}\frac{t}{2}$ (4)

, где t есть время прихода отражённого сигнала наблюдателю, $\mathbf{n}$ есть направление посланного сигнала, а сам сигнал считается посланным в нулевой момент времени. с=1
Возможно, что полученные формулы будут иметь некоторое значение в космонавтике (например для определения координаты астероида), поскольку обычно космические станции как раз имеют постоянные характеристики.
Я буду не спеша выкладывать формулы, поэтому извините, если будет большой перерыв.

-- Ср дек 07, 2011 11:05:15 --

Итак. Прежде чем решать эту задачку необходимо определиться с уравнениями механики свободной материальной точки в такой системе отсчёта.

Поскольку энергия-импульс по отношению к преобразованиям координат является ковариантным 4-вектором $p_{i}=(e,-\mathbf{p})$, а 4-скорость $\[\frac{d{{x}^{i}}}{ds}={{u}^{i}}\]$ контравариантная, то раскрывая выражение
$ \[{{p}_{i}}=m{{g}_{ik}}{{u}\] }^{k}$ (5)

можно сразу написать, что импульс $\mathbf{p}$ и энергия $e$ свободной частицы в неинерциальной жёсткой системе отсчёта равны
$ \[\mathbf{p}=m\frac{\mathbf{\mathbf{\Omega} } \times \mathbf{r}+\mathbf{u}}{\sqrt{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}+\mathbf{u})}^{2}}}}\] $ (6)
$\[e=m\frac{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}}-(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})\mathbf{u}}{\sqrt{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}+\mathbf{u})}^{2}}}}\]$ (7)
где $\mathbf{u}$ есть скорость частицы в неинерциальной жёсткой системе отсчёта

[В. Войтик]

Из (6) и (7) можно найти, что импульс и энергия (гамильтониан) связаны соотношением
$\[e=H=(1+\mathbf{Wr})\mu -\mathbf{\Omega} \ \mathbf{l}\]$ (8)
где
$\[\mu =\sqrt{{{p}^{2}}+{{m}^{2}}}=\frac{m(1+\mathbf{Wr})}{\sqrt{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega}\times \mathbf{r}+\mathbf{u})}^{2}}}}\]$ (9)
а
$\[\mathbf{l}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}\]$ (10)
Согласно каноническим уравнениям получим из (8) уравнение изменения импульса
$\[\frac{d\,\mathbf{p}}{dt}=-\,\sqrt{{{p}^{2}}+{{m}^{2}}}\mathbf{W}-\mathbf{\Omega} \times \mathbf{p}=-\mu \mathbf{W}-\mathbf{\Omega}\times \mathbf{p}\]$ (11)
Аналогично, уравнение изменения орбитального момента можно получить умножая (11) векторно на радиус-вектор и используя определение импульса (6). После всех вычислений получим
$ \[\frac{d\,\mathbf{l}}{dt}=-\mu \,\mathbf{r}\times \mathbf{W}-\mathbf{\Omega} \times \mathbf{l}\] $ (12)
Поскольку импульс и момент являются складывающимися, то из (11) и (12) видно, что величины $ \[\mu \]$ и $\[\mu \mathbf{r}\]$ также являются складывающимися. "Масса" покоя $\mu _{0}$ будет равна
$\mu _{0} (\mathbf{u}=0)=\frac{m(1+\mathbf{Wr})}{\sqrt{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}}}}$ (13)

[В. Войтик]

Она как видно из (13) зависит от положения в пространстве относительно наблюдателя. Обратим внимание, что величина $\[\mu \]$ , которую условно можно назвать "массой", хотя и складывается в каждый момент времени, но не является сохраняющейся величиной. Таким образом, из (8) видно, что известное соотношение Эйнштейна $\[e=\mu \] $ выполняется только в инерциальной системе отсчета.

Найдём ещё закон изменения со временем инерции – величины $\mu \mathbf{r-p}t$. Имеем
$\[\frac{d(\mu \mathbf{r})}{dt}=\frac{d(\sqrt{{{p}^{\text{2}}}+{{m}^{\text{2}}}}\mathbf{r})}{dt}=\frac{(\mathbf{p\dot{p}})\mathbf{r}}{\mu }+\mu \mathbf{u}\]$ (14)
Подставим сюда (11) и уравнение выражающее связь скорости и импульса
$\[ \mathbf{u}=\frac{(\text{1}+\mathbf{Wr)\ p}}{\mu }- \mathbf{\Omega \times r}\]$ (15)
, тогда из (14) получим
$ \[\frac{d(\mu \mathbf{r})}{dt}=\frac{(-\mu \ \mathbf{pW})\mathbf{r}}{\mu }+\mu \ \left( \frac{(\text{1}+\mathbf{Wr})\ p}{\mu }-\mathbf{\Omega \times r} \right)\]$ (16)
Раскрывая скобки, окончательно получим
$ \[\frac{d(\mu \mathbf{r})}{dt}=\mathbf{p-\Omega \times (\mu \ r)-W\times l}\] $ (17)
или в эквивалентной форме
$ \[\frac{d(\mu \mathbf{r-p}t)}{dt}=-\ \mathbf{\Omega} \times (\mu \mathbf{r-p}t)+\mathbf{W}\mu \ t-\mathbf{W} \times \mathbf{l} \]$ (18)
С классической точки зрения в правой части (18) мы должны были бы ожидать только первые два члена. Добавка же $-\mathbf{W\times l} $ является чисто релятивистской поправкой (обратно пропорциональной $c^2$.
Уравнения (8), (11), (12), (17), (18) справедливы не только для одной материальной точки, но имеют общий характер. Всякой физической системе находящейся в произвольной неинерциальной системе отсчёта и имеющей в данный момент общую массу движения $\[\mu \]$ и полный момент $\[\mathbf{j}\]$ соответствует энергия (8), в которой $\[\mathbf{l}=\mathbf{j}\]$. Суммируемость $\[\mu \mathbf{r}\]$ позволяет ввести понятие положения центра масс $\[{{\mathbf{R}}_{c}}\]$ системы частиц в данной неинерциальной системе отсчёта (суммирование ведётся по всем частицам)
$ \[{{\mathbf{R}}_{c}}=\frac{\sum{\mu \,\mathbf{r}}}{\sum{\mu }}\] $ (19)
Центр масс системы частиц $\[{{\mu }_{a}}\] $ находящихся на расстоянии $\[{{\mathbf{r}}_{a}}\] $ движется также как одна частица массой $\[\sum{{{\mu }_{a}}}\]$ находящейся на расстоянии (17).
Таковы уравнения движения свободной частицы.

-- Ср дек 07, 2011 14:01:17 --

Уравнения с (8) по (19) не имеют отношения к теме. Я привёл их только потому, что кажется естественным, что все эти уравнения давно известны. В то же время к моему удивлению мне их не удалось найти в явном виде в имеющейся литературе, а уравнения как-бы красивые.

-- Ср дек 07, 2011 14:24:20 --

Вот сейчас пожалуйста внимание всем читающим эту тему. Для решения задачи о радарном методе требуется воспользоваться принципом Ферма. Тем не менее уже имеющийся принцип изложенный в ЛЛ т. 2, п. 88, задача 2, с. 328 меня не вполне устраивает. И далее вы поймёте почему. Насколько я понимаю возражений против (1)-(7) ни у кого нет? Если нет, то продолжу тему завтра.

-- Ср дек 07, 2011 14:46:42 --

В. Войтик в сообщении #512417 писал(а):

...уже имеющийся принцип изложенный в ЛЛ т. 2, п. 88, задача 2, с. 328 меня не вполне устраивает.

Пардон. Всё устраивает.

[В. Войтик]

Найдём теперь принцип наименьшего укороченного действия Эйлера-Лагранжа.
Подставляя в укороченное действие соотношение (6) получим полагая
$ \[\mathbf{u}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\]$, (20)
что укороченное действие будет
$ \[\tilde{S}=\int{\mathbf{p}d\mathbf{r}}=\int{\frac{m\left( d{{\mathbf{r}}^{2}}+(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})d\mathbf{r}dt \right)}{\sqrt{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}d{{t}^{2}}-{{(d\mathbf{r}+\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}dt)}^{2}}}}}\] $ (21)

Дифференциал $dt$ выражается из уравнения (7), если подставить в него (20). Это после некоторых преобразований даёт уравнение
$ \[\left[ {{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}} \right]\,d{{t}^{2}}-2(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})d\mathbf{r}dt-d{{\mathbf{r}}^{2}}=\frac{{{m}^{2}}}{{{e}^{2}}}{{\left\{ \,\left[ {{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}} \right]\,dt-(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})d\mathbf{r} \right\}}^{\,2}}\]$. (22)
Очевидно, что если $\[(m=0)\]$ (свет), то это уравнение совпадает с уравнением светоподобного интервала. Решение этого уравнения есть
$\[dt=\frac{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})d\mathbf{r}}{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}}}+\frac{1}{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}}}\sqrt{\frac{d{{\mathbf{r}}^{2}}\left[ {{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}} \right]+{{\left[ (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})d\mathbf{r} \right]}^{2}}}{1-\frac{{{m}^{2}}}{{{e}^{2}}}\left[ {{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}} \right]}}\] $ (23)
Подставив эту формулу в (21) окончательно получим, что
$ \[\tilde{S}=\int{\frac{\sqrt{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}d{{\mathbf{r}}^{2}}-{{\left[ (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})\times d\mathbf{r} \right]}^{\,2}}}\sqrt{{{e}^{2}}-{{m}^{2}}\left( {{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}} \right)}+e\,(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})\,d\mathbf{r}}{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}}}}\]$ (24)
Укороченное действие минимально по отношению к вариации истинной траектории проходящей через 2 заданные точки. Применив эту формулу к световой частице $\[(m=0)\]$ найдём, что её траектория не зависит от её энергии (частоты) и удовлетворяет принципу Ферма в виде
$ \[\delta \tilde{S}=\delta \int{\frac{\sqrt{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}d{{\mathbf{r}}^{2}}-{{\left[ (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})\times d\mathbf{r} \right]}^{\,2}}}+\,(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})\,d\mathbf{r}}{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}}}\,}=0\]$ (25)
Формула (25) совпадает с принципом Ферма в ЛЛ т. 2.

Продолжу позже.

[В. Войтик]

К сожалению мне не удалось с налёта найти уравнение траектории из принципа Ферма (25) для случая произвольной ориентации в аналитическом виде. Но для некоторых частных случаев найти уравнение траектории не очень сложно.
1) Направление собственного ускорения совпадает с направлением угловой скорости $\[\mathbf{W}\parallel \mathbf{\Omega} \]$. В этом случае естественно выбрать цилиндрические координаты $\[(\rho ,\varphi ,z)\]$ , где ось z совпадает с направлением ускорения, а полярная ось направлена так, чтобы она совпадала с направлением проекции вектора начальной скорости световой частицы на плоскость перепендикулярную ускорению. Это даёт условие $\[\varphi (\rho =0)=0\]$
Тогда принцип Ферма будет выглядеть в этих координатах в виде
$\[\delta \tilde{S}=\delta \int{\frac{\sqrt{{{(1+Wz)}^{2}}(d{{z}^{2}}+{{\rho }^{2}}d{{\varphi }^{2}}+d{{\rho }^{2}})-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}(d{{z}^{2}}+d{{\rho }^{2}})}+\Omega \ {{\rho }^{2}}d\varphi }{{{(1+Wz)}^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}}\,}=0\]$ (26)
Вместо z удобно выбрать координату $\[\zeta \]$
$\[z=\zeta -\frac{1}{W}\]$ (27).
Тогда укороченное действие можно представить в виде
$\[\delta \tilde{S}=\delta \int{\frac{\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}(d{{\zeta }^{2}}+{{\rho }^{2}}d{{\varphi }^{2}}+d{{\rho }^{2}})-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}(d{{\zeta }^{2}}+d{{\rho }^{2}})}+\Omega \ {{\rho }^{2}}d\varphi }{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}}\,}=0\] \[\delta \tilde{S}=\delta \int{\frac{\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+{{\rho }^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}+1)-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+1)}+\Omega \ {{\rho }^{2}}\dot{\varphi }}{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}}\,d\rho }=0\] $ (28)

Для получения уравнения траектории из этого принципа не надо варьировать действие. Заметим, что $\[\rho \]$ в этом принципе аналогично времени. Тогда достаточно воспользоваться стандартными уравнениями Лагранжа. Эти уравнения будут в виде
$ \[\frac{d}{d\rho }\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=\frac{\partial L}{\partial \varphi }\]$, $ \[\frac{d}{d\rho }\frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta }}=\frac{\partial L}{\partial \zeta }\] $ (29)
а поскольку «лагранжиан» не зависит от $\[\varphi \]$ , то можно сразу записать, что
$\[\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=\frac{\Omega \ {{\rho }^{2}}}{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}}+\frac{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}\dot{\varphi }}{({{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}})\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+{{\rho }^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}+1)-{{\Omega }^{\,2}}{{\rho }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+1)}}=k=\operatorname{const}\]$ (30)
Отсюда

$\[{{\dot{\varphi }}^{2}}=\frac{\left( k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}-\Omega {{\rho }^{2}} \right)\left( {{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}} \right)(1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}})}{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}\left( {{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega {{\rho }^{2}} \right)}\]$ (31)
Рассматривая второе уравнение получим
$\[\frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta }}=\frac{{\dot{\zeta }}}{\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+{{\rho }^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}+1)-{{\Omega }^{\,2}}{{\rho }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+1)}}\] $ (32)

$\[\frac{\partial L}{\partial \zeta }=\frac{{{W}^{2}}\zeta ({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+{{\rho }^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}+1)}{({{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}})\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+{{\rho }^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}+1)-{{\Omega }^{\,2}}{{\rho }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+1)}}-\]$

$\[-\frac{2{{W}^{2}}\zeta (\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+{{\rho }^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}+1)-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}({{{\dot{\zeta }}}^{2}}+1)}+\Omega \ {{\rho }^{2}}\dot{\varphi })}{{{({{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}})}^{2}}}\] $ (33)

[Emil89]

Интересно, в проекте Радиоастрон и подобных радиотелескопах изображение создают? или просто сигнал принимаю от отдалённых источников излучения? Я вот думаю, почему бы не сделать такую систему? Три спутника удалены друг от друга на большое растояние, все они на одной плоскасти. И к примеру , если до всех одновременно дошёл сигнал, то этот сигнал с центральной точки. Потом принимается сигнал, который запаздывает к одному из спутников, седоваательно источник сбоку находится в соответствие с запаздыванием. И так далее картину составлять? Хотя много проблем приэтом есть. Или двух достаточно т.к. Земля вращается?

[В. Войтик]

Emil89 в сообщении #513795 писал(а):

Интересно, в проекте Радиоастрон и подобных радиотелескопах изображение создают? или просто сигнал принимаю от отдалённых источников излучения? Я вот думаю, почему бы не сделать такую систему? Три спутника удалены друг от друга на большое растояние, все они на одной плоскасти. И к примеру , если до всех одновременно дошёл сигнал, то этот сигнал с центральной точки. Потом принимается сигнал, который запаздывает к одному из спутников, седоваательно источник сбоку находится в соответствие с запаздыванием. И так далее картину составлять? Хотя много проблем приэтом есть. Или двух достаточно т.к. Земля вращается?

Я в этом не специалист и боюсь ошибиться. Но думаю, что Ваше предложение если и годится, то только для изучения ближайшей окрестности Земли, но не звёзд. Действительно характерный порядок расстояний в Солнечной системе - световая минута, а до звезды 4 световых года как минимум, т.е. погрешность в определении расстояний будет слишком высокой.
____________________________________________________

Далее осталась простая, но довольно нудная работа требующая аккуратности. Надо подставить (31) в (32) и (33). Для этого вычислим сначала

$\[\Omega {{\rho }^{2}}\dot{\varphi }=\frac{\Omega \rho \sqrt{k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}-\Omega {{\rho }^{2}}}\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}}\sqrt{1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}}}}{W\zeta \sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega {{\rho }^{2}}}}\] $ (34),
$\[{{\dot{\zeta }}^{2}}+{{\rho }^{2}}{{\dot{\varphi }}^{2}}+1=\frac{\left( {{W}^{4}}{{\zeta }^{4}}-k{{\Omega }^{2}}{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+{{\Omega }^{2}}(k{{\Omega }^{\,2}}+\Omega ){{\rho }^{2}} \right)(1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}}){{\rho }^{2}}}{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}\left( {{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega \ {{\rho }^{2}} \right)}\] $(35)
потом
$\[{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}({{\dot{\zeta }}^{2}}+{{\rho }^{2}}{{\dot{\varphi }}^{2}}+1)-{{\Omega }^{\,2}}{{\rho }^{2}}({{\dot{\zeta }}^{2}}+1)=\frac{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}\left( {{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}} \right)(1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}}){{\rho }^{2}}}{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega \ {{\rho }^{2}}}\]$ (36)
Получим, что
$\[\frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta }}=\frac{\dot{\zeta }\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega \ {{\rho }^{2}}}}{W\zeta \rho \sqrt{\left( {{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}} \right)(1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}})}}\] $ (37)

$\[\frac{\partial L}{\partial \zeta }=\frac{\rho \left( {{\Omega }^{2}}(k{{\Omega }^{\,2}}+\Omega ){{\rho }^{2}}-k{{\Omega }^{2}}{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{W}^{4}}{{\zeta }^{4}} \right)\sqrt{1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}}}}{W{{\zeta }^{2}}{{({{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}})}^{{3}/{2}\;}}\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega \ {{\rho }^{2}}}}-\]$

$\[-\frac{2W\Omega \ \rho }{{{({{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}})}^{{3}/{2}\;}}}\frac{\sqrt{k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}-\Omega \,{{\rho }^{2}}}\sqrt{1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}}}}{\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega \,{{\rho }^{2}}}}\] $ (38)
В итоге получим дифуравнение 2 порядка от неизвестной функции $\[\zeta (\rho )\]$

$\[\frac{d}{d\rho }\left[ \frac{\dot{\zeta }\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega \ {{\rho }^{2}}}}{W\zeta \rho \sqrt{\left( {{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}} \right)(1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}})}} \right]=\frac{\rho \left( {{\Omega }^{2}}(k{{\Omega }^{\,2}}+\Omega ){{\rho }^{2}}-k{{\Omega }^{2}}{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{W}^{4}}{{\zeta }^{4}} \right)\sqrt{1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}}}}{W{{\zeta }^{2}}{{({{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}})}^{{3}/{2}\;}}\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega \ {{\rho }^{2}}}}\]$
$\[-\frac{2W\Omega \ \rho }{{{({{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}})}^{{3}/{2}\;}}}\frac{\sqrt{k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}-k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}-\Omega \,{{\rho }^{2}}}\sqrt{1+{{{\dot{\zeta }}}^{2}}}}{\sqrt{{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}{{\rho }^{2}}-k{{W}^{2}}{{\zeta }^{2}}+k{{\Omega }^{2}}{{\rho }^{2}}+\Omega \,{{\rho }^{2}}}}\] $ (39)

Чегой-то мне пока неохота решать это уравнение . Но в принципе решить можно.

[В. Войтик]

Ну ладно... раз уж начал тему, то надо её закончить и довести до некоего ответа, иначе не стоило и начинать... Итак продолжим.
Другой, решаемый в квадратурах
2) Случай когда направление собственного ускорения перпендикулярно направлению угловой скорости $\[\mathbf{W}\bot \mathbf{\Omega} \] $
в принципе тот же самый, поэтому я не буду специально на нём останавливаться.


Зная решение (39) $\[\zeta (\rho )\]$ можно найти $\[\varphi (\rho )\] $ из (31). А зная эти функции из уравнения светового интервала можно найти $\[t(\rho )\] $или обращая эту функцию $\[\rho (t)\]$ Тем самым можно найти решение задачи о радарном определении координат. Проиллюстрируем данный алгоритм на примере а) ускоренной системе отсчёта $\[\mathbf{\Omega} =0\]$.
а) В случае $\[\mathbf{\Omega} =0\] $ удобно пользоваться 2 -мерной декартовой системой координат $\[(x,z)\]$, которая расположена в плоскости движения световой частицы. Ось z располагаем вдоль направления ускорения. Имеем принцип Ферма в виде
$\[\delta \tilde{S}=\delta \int{\frac{\sqrt{d{{z}^{2}}+d{{x}^{2}}}}{1+Wz}\,}=0\] $ (40)
$\[\delta \tilde{S}=\delta \int{\frac{\sqrt{{{{\dot{x}}}^{2}}+1}}{1+Wz}\,}dz=0\]$ (41)
Отсюда
$\[\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{{\dot{x}}}{(1+Wz)\sqrt{{{{\dot{x}}}^{2}}+1}}=k=\operatorname{const}\] $ (42)

$\[\dot{x}=\frac{k(1+Wz)}{\sqrt{1-{{k}^{2}}{{(1+Wz)}^{2}}}}\] $(43)
$\[\dot{x}(z=0)=\frac{k}{\sqrt{1-{{k}^{2}}}}=\tg\,\varphi \] $ (44)
$\[\varphi \]$-угол отклонения от вертикали
Интегрируя получим


$\[x=\frac{\sqrt{1-{{k}^{2}}}-\sqrt{1-{{k}^{2}}{{(1+Wz)}^{2}}}}{Wk}\]$ (45)

$\[dl=\sqrt{d{{x}^{2}}+d{{z}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-{{k}^{2}}{{(1+Wz)}^{2}}}}dz\] $ (46)
Из уравнения светового интервала имеем следующее уравнение
$\[dt=\frac{dl}{1+Wz}=\frac{1}{(1+Wz)\sqrt{1-{{k}^{2}}{{(1+Wz)}^{2}}}}dz\] $ (47)
$\[k(1+Wz)=\lambda \]$ (48)
$\[dz=\frac{d\lambda }{Wk}\] $(49)
Интегрируя получим
$\[t=\int\limits_{k}^{\lambda }{\frac{d\lambda }{W\lambda \sqrt{1-{{\lambda }^{2}}}}}=\frac{1}{W}\ln \left| \frac{\lambda }{1+\sqrt{1-{{\lambda }^{2}}}}\frac{1+\sqrt{1-{{k}^{2}}}}{k} \right|\] $ (50)
Обращая эту формулу получим
$\[\frac{\lambda }{1+\sqrt{1-{{\lambda }^{2}}}}={{e}^{Wt}}\frac{k}{1+\sqrt{1-{{k}^{2}}}}\] $ (51)
$\[\lambda =2\frac{(1+\sqrt{1-{{k}^{2}}}){{e}^{Wt}}k}{{{(1+\sqrt{1-{{k}^{2}}})}^{2}}+{{e}^{2Wt}}{{k}^{2}}}\]$ (52)
$\[\sqrt{1-{{\lambda }^{2}}}=\frac{\lambda (1+\sqrt{1-{{k}^{2}}})}{{{e}^{Wt}}k}-1=\frac{{{(1+\sqrt{1-{{k}^{2}}})}^{2}}-{{e}^{2Wt}}{{k}^{2}}}{{{(1+\sqrt{1-{{k}^{2}}})}^{2}}+{{e}^{2Wt}}{{k}^{2}}}\] $ (53)
В итоге получим формулы Пуанкаре для определения координат события в равномерно ускоренной системе отсчёта.
$\[z=\frac{2}{W}\frac{(1+\sqrt{1-{{k}^{2}}}){{e}^{Wt}}}{{{(1+\sqrt{1-{{k}^{2}}})}^{2}}+{{e}^{2Wt}}{{k}^{2}}}-\frac{1}{W}\] $ (54)
$\[x=\frac{\sqrt{1-{{k}^{2}}}-\sqrt{1-{{\lambda }^{2}}}}{Wk}=\frac{1}{Wk}\left( \sqrt{1-{{k}^{2}}}-\frac{{{(1+\sqrt{1-{{k}^{2}}})}^{2}}-{{e}^{2Wt}}{{k}^{2}}}{{{(1+\sqrt{1-{{k}^{2}}})}^{2}}+{{e}^{2Wt}}{{k}^{2}}} \right)\] $ (55)
Практически всегда $\[Wt\approx 0\]$. Тогда окончательно получим следующие формулы, которыми можно пользоваться при вычислении расстояния в ускоренной системе
$\[z=t\sqrt{1-{{k}^{2}}}\left( 1-\frac{Wt\ {{k}^{2}}}{1+\sqrt{1-{{k}^{2}}}} \right)\]$ (56)
$\[x=tk\left( 1-\frac{Wt{{k}^{2}}}{1+\sqrt{1-{{k}^{2}}}} \right)\] $ (57)
Здесь t - момент попадания световой частицы в объект. На практике же известен момент возврата $t_{return}$ световой частицы обратно в радар. Поскольку световая частица возвращается обратно по тому же пути, надо везде в формулах (54)-(57) заменить t на
$t=\frac{t_{return}}{2}$ (58). Ну и сейчас можно сравнить полученные формулы с формулой Пуанкаре для инерциальной системы...

Есть ли у кого нибудь возражения, замечания? Имеет ли мне смысл написать статейку по этому поводу?

[Шимпанзе]

(Оффтоп)

Читая вот это

В. Войтик в сообщении #519218 писал(а):

момент попадания световой частицы в объект

или это

В. Войтик в сообщении #519218 писал(а):

На практике же известен момент возврата световой частицы обратно в радар. Поскольку световая частица возвращается обратно по тому же пути

невольно возникает мысль, что на вопрос

В. Войтик в сообщении #519218 писал(а):

Имеет ли мне смысл написать статейку по этому поводу?

следует рекомендовать в статье не писать текст вообще, оставить лишь формулы.
Или же ничего не писать , и вместо Пуанкаре изучать труды Синга, который, можно сказать, жизнь свою положил на определении расстояний в ТО.

[В. Войтик]

Шимпанзе в сообщении #519394 писал(а):

...следует рекомендовать в статье не писать текст вообще, оставить лишь формулы.

Вы можете сразу пояснить своё мнение, а не заставлять переспрашивать?

Шимпанзе в сообщении #519394 писал(а):

... вместо Пуанкаре изучать труды Синга, который, можно сказать, жизнь свою положил на определении расстояний в ТО.

Сошлитесь пожалуйста на конкретную формулу Синга исправляющую (56), (57).

[В. Войтик]

Хм. С классической точки зрения вместо (56), (57) мы должны получить
$\[z=t\sqrt{1-{{k}^{2}}}-\frac{W{{t}^{2}}}{2}\]$ (59)
$\[x=tk\] $ (60)
(56) и (57) выглядят просто. А вот интересно можно ли получить эти формулы проще, другим способом, без сложных вычислений?
Поставлю ещё вопрос. А как проверить на эксперименте данную формулу? Тут я вижу по меньшей мере 2 сложности.
Во-первых эксперимент надо проводить вдали от источников гравитационного поля. Наверное единственное практически подходящее место - это пространство между Землёй и Марсом.
Во-вторых ... Ну вот вычислили мы это расстояние и как его проверить? Надо сравнить с расстоянием полученным независимо. Но такого метода нет. По крайней мере я не знаю... Ну не рулетку же брать