Вычислить предел

[SpBTimes]

Помогите, пожалуйста, вычислить такой предел:
$\lim\limits_{k \to \infty} \frac{1 + k + \frac{k^2}{2!} + ... + \frac{k^k}{k!}}{e^k}$
Думал, может Штольц поможет, но числитель неудобный всё равно. Может трюк какой?

[Praded]

А если применить Лопиталя "до посинения"? Знаменатель не меняется, а числитель потихоньку исчезает.

[SpBTimes]

Ну а в конце то его как применять...

[Praded]

А в конце числитель равен 0, а знаменатель бесконечно большой.

[SpBTimes]

это непонятно, да и неверно, как мне кажется.
Последние слагаемые будут вида $e^{k\ln(k)}$ и их производные будут непрятными

[Dan B-Yallay]

Praded в сообщении #512160 писал(а):

А в конце числитель равен 0,

Вы в этом уверены?

[Legioner93]

Praded в сообщении #512156 писал(а):

А если применить Лопиталя "до посинения"? Знаменатель не меняется, а числитель потихоньку исчезает.

А ничего, что в числителе при росте $k$ растет число слагаемых? Как вы собрались это дифференцировать?
При больших $k$ последнее слагаемое в числителе примерно $\frac{e^k}{\sqrt{2 \pi k}}$.

[ИСН]

Короче, сверху как бы ряд для экспоненты, но не весь, а только его "половина слева от бугра". Вот и надо как-то вести к тому что это и вправду... половина.

[SpBTimes]

Legioner93 в сообщении #512174 писал(а):

При больших $k$ последнее слагаемое в числителе примерно

Ну там все последние слагаемые такого вида (ну, от k зависимость чуть отличается, конечно), однако это не облегчает их суммирование, по крайней мере мне(

[lyuk]

Примените формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, а дальше формулу Стирлинга.

[SpBTimes]

lyuk
к чему, осмелюсь спросить? В числителе записать, что это экспонента - остаток?

[RIP]

А откуда задача? Например, центральная предельная теорема моментально даёт ответ $1/2$ без всяких вычислений. Возможно, что это даже обсуждалось на форуме. (Здесь разобрана похожая задача.)

[lyuk]

$e^x=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{x^i}{i!}+r_{n+1}(x)$, где $r_{n+1}(x)=\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}$ и $0<\theta<1$. Подставляем $x=n=k$.

[SpBTimes]

RIP
задача с семинара по анализу.
Центральную предельную теорему, к сожалению, ещё не изучали на ТВ.
Да и хотелось бы "анализное" обоснование

-- Вт дек 06, 2011 21:42:50 --

lyuk
ну, $r_{n + 1} = \frac{e^{x\theta}x^{n + 1}}{(n + 1)!}$ всё-таки
И вы предлагаете числитель заменить на $e^{k} - r_{k + 1}$?

[RIP]

Анализно тоже можно, но придётся повозиться. Идею док-ва можно найти в сообщении ИСН в теме, на которую я дал ссылку. Чуть подробнее можно посмотреть в этой книге (задача 87, решение начинается на с. 84).