Функционально уравнение

[Mega Sirius12]

Хочу предложить вашему вниманию одну занимательную задачу
для всех положительных $a,b$ выполняется соотношение
$f(a)+f(b)=f(\frac{a+b+ab}{1+ab})$
Найти все непрерывные $f(x)$

[arseniiv]

Она точно олимпиадная?

[Mega Sirius12]

нет, я ее сам придумал

[arseniiv]

Обычные подстановки единиц и нулей вместо $a$ и $b$ разве не приводят, в конечном счёте, к ответу?

[Mega Sirius12]

неа
ну напишите, вроде функция сложная получается

-- 30.11.2011, 21:58 --

перечитайте условие

[arseniiv]

(Оффтоп)

Подумашь, непрерывные. Для этого теорема была какая-то. Ладно, молчу и временами заглядываю, проверяя на ответ, а то самому нет времени решать.

[Mega Sirius12]

(Оффтоп)

слив защитан

[Хорхе]

Нуль только подходит. Если подставить вместо $b$ что-то в районе золотого сечения золотое сечение, получим $f(a) + f(b) = f(b)$ для всех $a$, кроме одного.

[Mega Sirius12]

Куда чего подставляем?

[zhoraster]

Mega Sirius12, предупреждение за грубость и намеренные грамматические искажения.

[lyuk]

1) $f(\frac{1}{a})+f(\frac{1}{b})=f(a)+f(b)$.
2) $b=1$ и $f(\frac{1}{a})=f(a)$.

[Хорхе]

Mega Sirius12 в сообщении #510246 писал(а):

Куда чего подставляем?

Возьмем такое $b$, что $b^2=b+1$. Тогда при $a\neq -1/b$

$$ \frac{a+b+ab}{1+ab} = \frac{b+a(1+b)}{1+ab}= \frac{b+ab^2}{1+ab}=b. $$

и поэтому $f(a) =0$.

Так как таких $b$ ровно два, то имеем для всех $a$, и даже непрерывность не нужна.

[Simba]

Вот ещё одна задача: $f:R\rightarrow R$
1) $f$ - непрерывна
2) $f(f(x))\cdot f(x) = 1$
3) $f(1000)=999$
Найти $f(500)$.

[mihiv]

Что-то не так в условии: обозначим $f(x)=t$ из 2. получим $f(t)=\dfrac 1t$,что противоречит 3.

[ИСН]

Это если 1000 входит в область значений; ну а если нет?