Помогите разложить многочлен на множители

[bot]

(Оффтоп)

Klad33 в сообщении #511816 писал(а):

Балалайки тоже не стреляют.

И на автомате не потренькаешь ... , если не снять с предохранителя.

[Klad33]

myra_panama в сообщении #511682 писал(а):

И вот проблема в этом .. вот другой например:
$x^4-2x^3+x^2-2x-1=0$

здесь $BD=-1$ как можно подобрать

Здесь все четыре параметра A,B,C,D комплексные. Оно Вам нужно?
Единственное, чего можно добиться:

$(x^2-x+1)(x^2-x-1)=2x$

[bot]

Вот тебе бабушка и юрьев день! С каких пор вещественный полином чётной степени перестал раскладываться на вещественные квадратные трёхчлены?

[svv]

(Оффтоп)

Через 2 дня в самом деле будет Юрьев день.

[Klad33]

bot в сообщении #511900 писал(а):

Вот тебе бабушка и юрьев день! С каких пор вещественный полином чётной степени перестал раскладываться на вещественные квадратные трёхчлены?

$x^4+4x^2+20x+25=(x^2+2x\,i +5\,i)(x^2-2x\,i-5\,i)$

или Вы знаете еще какое-либо другое разложение?

[Алексей К.]

Да многие знают. Что-нть типа $(x^2+x\sqrt{-2+2\sqrt{26}}+\ldots)(x^2-x\sqrt{-2+2\sqrt{26}}+\ldots)$ . Просто выписывать ленятся.

[Klad33]

Чем дальше, тем интересней. Корни этого полинома

$ x_{1,2}=i \pm \sqrt{5i-1}$

$ x_{3,4}=-i \pm \sqrt{-5i-1}$

Каким же образом удалось скомпоновать квадратные трехчлены с действительными коэффициентами? Я как ни пытался, не сумел. Мне это действительно важно знать...
Хотя численно удалось это сделать:

$ \big(x^2-2.45623608608755\,x+5.42367484348429\big ) \big (x^2+2.45623608608755 \,x+4.60942086711442 \big ) $

[AKM]

Ну вычислите $(x-x_1)(x-x_3)$. Скомпонуется.

-- 06 дек 2011, 13:39 --

(Я имею в виду варианты со знаком плюс в Ваших выражениях).

[Sender]

Да, получается что-то вроде этого:

$$\left[x^2+\sqrt{2 \left(\sqrt{26}-1\right)}\: x-\sqrt{2 \left(1+\sqrt{26}\right)}+\sqrt{26}+1\right]\left[x^2-\sqrt{2 \left(\sqrt{26}-1\right)}\:x-\sqrt{2 \left(1+\sqrt{26}\right)}+\sqrt{26}+1\right]$$

Скобки поприличнее поставил. //AKM

[Klad33]

Нет, у Вас где-то наврано. Исходный полином не получается:

$6.793583668-2.985138232*x^2+x^4$

Верно так:

$$\left[x^2+\sqrt{2 \left(\sqrt{26}-1\right)}\: x-\sqrt{2 \left(1+\sqrt{26}\right)}+\sqrt{26}+1\right]\left[x^2-\sqrt{2 \left(\sqrt{26}-1\right)}\:x+\sqrt{2 \left(1+\sqrt{26}\right)}+\sqrt{26}+1\right]$$

Впрочем, я согласен, что мой пример неудачный. Но до этого полином

$x^4-2x^3+x^2-2x-1=0$

на квадратные трехчлены с действительными коэффициентами точно не выходит, так как:

A = -2.23001482348501-1.12738295998802 i

B = 0.294152507258751+2.35535036449667 i

C = 0.230014823485015+1.12738295998802 i

D=-0.0522083797372241+0.418045140562684 i

[Алексей К.]

Вы пишете два сопряжённых числа (А и С, отличающихся на 0.000000000000005, и теми же руками пишете, что "точно не выходит".
У этих математиков есть куча учебников по алгебре (Курош, Прасолов), там до хрена теорем, сам когда-то интересовался. И про это написано в главе "Азы".

(Оффтоп)

--- Вовочка, ты же только что пописял!
--- Ну и что?
--- А теперь теми же руками бутерброд кушаешь!

[Klad33]

Дело не в точности, а как избавиться от мнимой i
A и C очень сильно отличаются знаками и целой действительной частью.

[Joker_vD]

Вообще-то у многочлена $x^4-2x^3+x^2-2x-1$ есть аж два вещественных корня...

[Алексей К.]

Klad33 в сообщении #511979 писал(а):

Дело не в точности, а как избавиться от мнимой i

Да не надо избавляться, хоть Википедию почитайте ("Свойства", пункт 3, про "При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности"). Статейка так себе, конечно. Но ежели нет учебника...

[bot]

Klad33 Зря трудитесь над контрпримерами - их не существует. Вы бы лучше почитали о корнях многочлена с действительными коэффициентами. Все недействительные корни попарно сопряжены и имеют одинаковую кратность. В силу этого любой многочлен с действительными коэффициентами разложим над полем $\mathbb R$ в произведение многочленов степени не выше двух. Что касается многочлена 4-й степени, то его корни выразимы в радикалах по методу Феррари.