Коэффициенты многочлена

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые!
В одном задачнике встретил следующую задачку:
Пусть $(1+x+x^2)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{2n}x^{2n}.$
Доказать, что: $a_0a_1-a_1a_2+a_2a_3-a_3a_4+\dots-a_{2n-1}a_{2n}=0$.
Подскажите пожалуйста с чего начать.

С уважением, Whitaker.

[Shadow]

Можно попробовать доказать, что $a_i=a_{2n-i}$ Т.е симетрия коеффициентов относительно $a_n$
Или по другому $a_{n-i}=a_{n+i}$

[Whitaker]

Shadow чтобы доказать то, что Вы предложили я попытался так:
cделаем замену $x=\frac{1}{y}$ и подставляя в равенство, которое дано в условии задачи мы получим:
$\Big(1+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\Big)^n=a_0+\dfrac{a_1}{y}+\dfrac{a_2}{y^2}+\dots+\dfrac{a_{2n}}{y^{2n}}$
И умножая обе части на $y^{2n}$ мы получим:
$(y^2+y+1)^n=a_0y^{2n}+a_1y^{2n-1}+a_2y^{2n-2}+\dots+a_{2n-1}y+a_{2n}$.
Но дальше для меня как тьма

[Dave]

Whitaker в сообщении #511681 писал(а):

Но дальше для меня как тьма

А дальше нужно заменить $y$ на $x$ и приравнять многочлены в правых частях в последней формуле и разложении, фигурирующем в условии, воспользовашись тем, что такое разложение единственно.

[Whitaker]

Dave
Меня волнует одна вещь: ведь в начале было $x=\frac{1}{y}$, а в конце $y$ заменяем на $x$. Как это так?

[Shadow]

Цитата:

И умножая обе части на $y^{2n}$ мы получим:
1. $(y^2+y+1)^n=a_0y^{2n}+a_1y^{2n-1}+a_2y^{2n-2}+\dots+a_{2n-1}y+a_{2n}$.

Но ведь по условии
2. $(1+x+x^2)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{2n}x^{2n}.$
Значит
3. $(1+y+y^2)^n=a_0+a_1y+a_2y^2+\dots+a_{2n}y^{2n}.$

Из 1. и 3. следует, что $a_0=a_{2n}, a_1=a_{2n-1}...$

[Dave]

Whitaker в сообщении #511687 писал(а):

Меня волнует одна вещь: ведь в начале было $x=\frac{1}{y}$, а в конце $y$ заменяем на $x$. Как это так?

Равенство

$$(y^2+y+1)^n=a_0y^{2n}+a_1y^{2n-1}+a_2y^{2n-2}+\dots+a_{2n-1}y+a_{2n}$$

верно при любом $y$ (первоначально кроме 0, но это не существенно, т.к. для 0 может быть получено предельным переходом при $y \rightarrow 0$), поэтому мы можем смело подставить вместо $y$ любую переменную, например $x$, лишь бы их области значений совпадали.

[Whitaker]

Shadow и Dave спасибо Вам я понял.
Мы вот получили, что $a_i=a_{2n-i}$.
Что дальше делать?

[Shadow]

Тогда $a_0a_1-a_{2n-1}a_{2n}=0 \text{, т.к } a_{0}=a_{2k} \text{ и } a_{1}=a_{2k-1}$

И вообще тогда полином можно записать в виде

$a_0+a_1x+a_2x^2+...a_nx^x+...a_2x^{2n-2}+a_1x^{2n-1}+ a_0x^{2n}.$

[svv]

Будем записывать коэффициенты для последовательных степеней $(1+x+x^2)^n, \;n\geqslant 0$, в виде таблицы, в которой строки центрированы -- так, чтобы друг под другом оказались коэффициенты при $x^n$, где $n$ -- номер строки, начиная с нуля:

$$\begin{matrix} _ & _ & _ & _ & 1 & _ & _ & _ & _ \\ _ & _ & _ & 1 & 1 & 1 & _ & _ & _ \\ _ & _ & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & _ & _ \\ _ & 1 & 3 & 6 & 7 & 6 & 3 & 1 & _ \\ 1 & 4 & 10 & 16 & 19 & 16 & 10 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Несложно показать, что правило построения таблицы таково. Каждое число равно сумме трех чисел: стоящего выше, выше-левее и выше-правее. Отсутствие числа считается нулем. Симметричность таблицы -- очевидное следствие этого правила построения.

[Shadow]

(Оффтоп)

И комбинаторный смысл этих коэффициентов $a_i$ - число способов получить сумму цифр $i$ n-значного числа в 3-ичной счетной системе

[svv]

Спасибо, Shadow, этого я не знал...

[Shadow]

Я тоже не знал. Но была тут задача недавно про сумму цифр и одно из предложений решения было основано на эту формулу ccылка Но мне трудно так вычислять. Рекурентной формулой (из вашего треугольника) легче

[Whitaker]

Shadow Благодарю Вас за красивое решение задачи
svv Спасибо Вам за этот треугольник. Впервые узнал о ней

[svv]

Whitaker, я тоже впервые узнал об этом треугольнике -- он родился в процессе решения этой задачи.