Заряженный проводящий отрезок.

[obar]

Посмотрите хотя-бы на численные расчеты drug39, там хорошо видно, что в пределе малой толщины влияние одного края цилиндра на другой стремится к нулю (это легко понять и без вычислений). Таким образом, модель полубесконечного цилиндра полностью оправдана и позволяет довести рассмотрение до конца.

[obar]

Влияние одного конца цилиндра на другой можно оценить следующим образом.
Величину концевого заряда $q$ оценим из емкостных соотношений

$$ C\sim R=\frac{q}{\varphi}\,,\quad\Rightarrow\quad q\sim R\varphi $$

где $\varphi$ --- потенциал проводника, который можно представить в виде двух составляющих

$$ \varphi=\varphi_1+\varphi_2\,,\quad\varphi_1\sim4\pi\sigma R\ln(L/R)\,,\quad\varphi_2\sim\frac{Q}{L}=2\pi R\sigma $$

Величина $\varphi_1$ --- это падение потенциала на расстоянии $r\sim L$ для равномерно заряженного цилиндра, когда поле $E\sim1/r$. На расстояниях $r\geq L$ проводник можно оценочно заменить точечным зарядом $Q=2\pi RL\sigma$. Этот вклад дается величиной $\varphi_2$. В пределе $L\gg R$ имеем $\varphi\sim\varphi_1$. Если под фразой "влияние одного конца на другой" понимать энергию их взаимодействия (или аналогичные величины, типа наведенного потенциала), то

$$ W\sim\frac{q^2}{L}\sim\sigma^2R^4\,\frac{\ln^2(L/R)}{L}\rightarrow0\,,\quad L\rightarrow\infty. $$

[Morkonwen]

obar
Мне там не видно что они не влияют. Там видно что на конце появляется точечный заряд который не стремится к нулю как вы написали во втором сообщении.

У вас аргументы такие:
""докажем что заряды друг на друга не влияют.Отсюда проследует, что они будут стремится к нулю.Итак, поскольку заряды стремятся к нулю то энергия их взаимодействия стремится к нулю. Доказано""

[obar]

Morkonwen в сообщении #511029 писал(а):

Мне там не видно что они не влияют. Там видно что на конце появляется точечный заряд который не стремится к нулю как вы написали во втором сообщении.

Вам видно, что с увеличением отношения h/d участок кривой между пиками становится все более и более плоским? Вам видно, что масштаб по оси ординат уменьшился в 10 раз по сравнению с первым графиком, а пики стали более узкими? А теперь подумайте, что это означает. Более точные сравнения "на глаз" делать трудно.

Morkonwen в сообщении #511029 писал(а):

У вас аргументы такие:
""докажем что заряды друг на друга не влияют.Отсюда проследует, что они будут стремится к нулю.Итак, поскольку заряды стремятся к нулю то энергия их взаимодействия стремится к нулю. Доказано""

Откуда вы взяли такую "логику" доказательства мне не ясно. Я привел оценку величины концевых зарядов не делая при этом ни каких предположений. Что и куда стремится видно из результатов.

[Morkonwen]

obar в сообщении #511032 писал(а):

А теперь подумайте, что это означает.

Я ничего не придумал - объясните пожалуйста.

obar в сообщении #511032 писал(а):

Я привел оценку величины концевых зарядов не делая при этом ни каких предположений.

Ну например почему вы решили что у вас $\sigma$ на торце никуда не стремится?



Кстати вопрос к drug39. Почему, действительно у вас на картинке высота пиков убывает, а не возрастает, как полагается добропорядочной дельта функции? Если там особенность, а похоже на то, то ведь совсем не обязательно и в правду, что интеграл под ней будет ненулевым при предельном переходе. Может как то численно это посчитать?

[obar]

То, что график между пиками уплощается с ростом h/d как раз и означает ослабление влияния одного конца на другой --- распределение заряда быстро выходит на равномерное как было бы для полубесконечного цилиндра. Ни каких делта-образных зарядов на концах нет, вас ввели в заблуждение. "Особенность" там лишь логарифмическая (умноженная на $R\rightarrow0$).

Morkonwen в сообщении #511034 писал(а):

Ну например почему вы решили что у вас $\sigma$ на торце никуда не стремится?

Я про эту величину ничего не решал. Весь конец (вместе с торцевой поверхностью, разумеется) рассматривался при оценке как проводник с характерным размером $R$ и емкостью $C\sim R$.

[drug39]

Цитата:

Кстати вопрос к drug39. Почему, действительно у вас на картинке высота пиков убывает, а не возрастает, как полагается добропорядочной дельта функции?

Аналитически можно доказать, и это хорошо известно, что на ребре цилиндра $ \sigma=\infty$. Поэтому на всех графиках пики должны быть бесконечны. Но вычисления имеют погрешность, поэтому так получилось. Главное, что по этим графикам можно судить о характере распределения заряда.

[obar]

Да, действительно, поле вблизи острого края цилиндра обращается в бесконечность по закону $E\sim x^{-1/3}$. По такому же закону обращается в бесконечность и плотность заряда $\sigma\sim x^{-1/3}$. В то же время суммарный концевой заряд на длине $\sim R$ будет конечным и стремится к нулю при $R\rightarrow0$. Оценочные формулы, полученные выше, остаются верными. Останется верным и вывод про стремление поля к полю равномерно заряженной палочки. Особенность плотности заряда вблизи края имеет скорее математическое происхождение, чем физическое --- достаточно как угодно мало закруглить край и плотность останется конечной. Именно так и происходит в реальных телах.

[drug39]

obar в сообщении #511226 писал(а):

достаточно как угодно мало закруглить край и плотность останется конечной

да, но у нас кроме того, что радиус скругления стремится к нулю, еще и площадь основания цилиндра стремится к нулю. А на основаниях цилиндра $\sigma $ стремится к бесконечности.

[obar]

Вообще-то при фиксированном заряде и длине $\sigma\rightarrow\infty$ по всей длине цилиндра. Суть не в этом. Сформулирую свои утверждения по пунктам.
1) Концевой заряд цилиндра на участке $\Delta x\sim R$ стремится к нулю при $R\rightarrow0$ и не дает вклад в поле.
2) На конечном расстоянии $x$ от края цилиндра распределение заряда в пределе $R\rightarrow0$ стремится к равномерному, поскольку линейная плотность заряда $\lambda=\lambda(x/R)$ (из размерных соображений, рассматривая, как делалось выше, приближение полубесконечного цилиндра).
3) Из 1) и 2) следует, что и поле на любом конечном расстоянии от цилиндра стремится к полю равномерно заряженной палочки.
Какой из этих пунктов у вас вызывает сомнения?

[drug39]

obar, возможно, вы не ознакомились со старой дискуссией Заряженная жидкость на линейке". там были здравые мысли о том, что поля цилиндра и эллипсоида в предельном случае отличаются.

п.2 следует просто из условия нормальности поля к отрезку.
по п.1 я думаю, что вы огульно упрощаете задачу. аналитическое решение для цилиндра давно известно. получается оно методом разделения переменных
в виде бесконечного ряда. вот его и попробуйте проанализировать.

[obar]

drug39 в сообщении #511393 писал(а):

obar, возможно, вы не ознакомились со старой дискуссией Заряженная жидкость на линейке". там были здравые мысли

Зачем мне давать ссылку на 17 страниц дискуссий? Это такой способ избавиться от оппонента. Если там действительно были интересные мысли по текущей теме --- укажите конкретно. Читать про несжимаемые заряженные отрезки мне неинтересно.

drug39 в сообщении #511393 писал(а):

п.2 следует просто из условия нормальности поля к отрезку.

Из условия нормальности поля к проводнику (про отрезок говорить некорректно) следует лишь его эквипотенциальность. Распределение заряда из этого никак не вытекает.

drug39 в сообщении #511393 писал(а):

по п.1 я думаю, что вы огульно упрощаете задачу.

Огульно я задачу не упрощаю. Я привел два варианта оценки концевого заряда: из емкостных соображений и используя явное решение для заряженного проводящего клина. В обоих случаях результаты совпадают --- концевой заряд, накопленный на участке $\sim R$ стремится в пределе к нулю. Ваше же заявление

drug39 в сообщении #503974 писал(а):

Но не учли, что на концах могут быть точечные заряды.

действительно огульно и ни какими аргументами не подкреплено. Оно даже не проходит по размерным соображениям. Рассмотрим полубесконечный цилиндр, у которого на бесконечности фиксируется постоянная линейная плотность заряда. Если вы утверждаете, что на конце такого цилиндра (в пределе) будут точечный заряд, то хотелось бы узнать какой? Из каких величин вы собираетесь получить размерность заряда? Как вы собираетесь удовлетворить условию эквипотенциальности, если потенциал точечного заряда бесконечен? Какие силы удерживают конечный заряд в точке у проводника?

drug39 в сообщении #511393 писал(а):

аналитическое решение для цилиндра давно известно

Если вам не трудно, дайте пожалуйста ссылку. Если оно давно известно, то наверняка и давно проанализировано. Очень интересно будет ознакомиться.

[ewert]

Достаточно очевидно, что в зависимости от формы проводника линейная плотность может оказаться распределённой более-менее как угодно. Зададим любую линейную плотность на в точности линейном отрезке; и зададим форму самого проводника как эквипотенциальную поверхность, примыкающую к этому отрезку достаточно близко...

[obar]

Эквипотенциальная поверхность, примыкающая к проводнику достаточно близко, охватывает этот проводник полностью, с ним не соприкасается и имеет отличный от него потенциал.

[Morkonwen]

obar в сообщении #511480 писал(а):

Эквипотенциальная поверхность, примыкающая к проводнику достаточно близко , охватывает этот проводник полностью, с ним не соприкасается и имеет отличный от него потенциал.

Но когда поверхность очень близко, то можно заменить проводник на нее и ничего не изменится. "издали" все равно будет виден отрезок. Нравится мне аргумент ewert