График функции

[Ketsyki]

Здравствуйте. Столкнулся с проблемой при построении графика такой функции:

$$ \left\{ \begin{aligned} x=& t\ln t\\ y=& \frac{\ln t}{t}\\ \end{aligned} \right. $$

Построил график каждой функции отдельно. Заметил, что при $0<t\le1$ $x$ и $y$ меньше $0$, иначе - больше $0$. Поэтому, при построении графика я разбил его на 2 части. Первую часть, когда $x$ и $y$ больше $0$, я построил. А вот во втором случае столкнулся с проблемой.

Во втором случае я нашел вертикальную асимптоту. Стал искать экстремумы. Получилось так, что экстремумов в данной области нет, но судя по графику этого участка http://www.wolframalpha.com/input/?i=Pa ... %2Ft%7D%5D экстремум есть, но он немного специфический :) Конечно, если при нахождении экстремума брать производную $ x_{y}'$ то все сразу получится. Но я не уверен, правильно ли это. Не могли бы вы объяснить, как находить такие вот экстремумы? И как вообще понять, что график будет иметь такую форму на данном участке?

Заранее спасибо.

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #509934 писал(а):

Вас интересует функция параметрическая кривая $(x(t),y(t))$. Вы обозвали её "функцией".

У меня такое нарисовалось (после исключения $t$)

-- 04 дек 2011, 12:26:49 --

Похоже, плохая картинка.

Да, Вы можете рассматривать это как ф-цию $x(y)$, дифференцировать, искать экстремумы. Что Вас смущает?

[mihiv]

Нужно ещё определить пределы,в которых изменяются $x,y$,например:$x\in (-e^{-1},+\infty )$

[Ketsyki]

Спасибо большое, похоже я понял, как эту часть построить.
Мне известно, что при $x \to -0$, $y \to -\infty$
На данном участке $x$ должен меняться от $-e^{-1}$ до $0$ Ну и получается, что сперва график дойдет от $0$ до $e^{-1}$, а потом будет стремиться к $0$

Сейчас еще попробую исследовать на перегибы.

[Klad33]

О том же говорит Maple:

plot([t*ln(t), ln(t)/t, t = .1 .. 2*Pi*(1/5)], color = black, thickness = 2);



Экстремум этот легко найти в декартовых координатах, если избавиться от параметра. Получим:

$x=\frac{W^2(-y)}{y}$

где W - функция Ламберта. График такой:

plot(LambertW(-y)^2/y, y = -10 .. 1, x1 = -.4 .. 0, thickness = 3);



Теперь взять производную и приравнять нулю.

Перегиб тоже несложно найти по второй производной.

Если все аккуратно сделать, то экстремум будет при

$y_{min}=-e \qquad x_{min}=-\frac{1}{e}$

Точка перегиба:

$y_{per}=-\sqrt{2}e^{\sqrt{2}} \qquad x_{per}=-\sqrt{2} e^{-\sqrt{2}}$

[Ketsyki]

Значит анализ для $x<0$ у меня правильный? А для $x>0$, как я понял, график дойдет до экстремума при $x=e$, а потом тоже начнет стремиться к $0$?

А что тут с перегибом делать? Он тут вообще есть? А то форма странная. Да и перегиб получился в неожиданном для меня месте.

Попробовал посчитать эти перегибы, получилось, 2 перегиба при $t= e^{-\sqrt{2}}$ и $t= e^{\sqrt{2}}$. Проверил на перемену знаков, и, вроде бы, в окрестности $t= e^{\sqrt{2}}$ знаки не меняются, т.е. перегиба нет. А при $t= e^{-\sqrt{2}}$ перегиб есть. Т.е. на графике перегиб при $x=-0,34$.

[Klad33]

Я перегиб вычислил выше. Если приближенно, то y=-5.817; x=-0.3438
Если график построить более крупно, то видно будет - это действительно перегиб.
Таким образом, у нас с Вами все верно!

-- 04.12.2011, 15:09 --

[Ketsyki]

Значит, вроде бы все правильно. Всем большое спасибо. Теперь осталось только красиво все это оформить

[Klad33]

Успехов!

[Ketsyki]

Я сейчас понял, что не могу на бумаге соединить точки $(-e^{-1}; -e)$, $(0;0)$, $(e; e^{-1})$ так, чтобы получилась почти прямая линия :(

Немного пофлужу, но если у меня график не влезает из-за масштаба, то можно сделать разрыв (помоему, в черчении он обозначается двумя волнистыми линиями) и продолжить рисовать график с нужного мне участка?