Найти область значений функции

[W0lfdalE]

Сталкиваюсь впервые с заданием по нахождению области значений функции, отнеситесь снисходительно
$f(x) = \frac {x^2 - 1}{x^2 - x + 2}$
Сделал анализ, но это ни к чему не привело.

[Полосин]

Сделайте анализ еще раз, выделив целую часть и исследовав функцию на экстремумы.

[Keter]

Пусть $f(x) = y$

Получаем $y(x^2-x+2)=x^2-1;$

$(y-1)x^2-yx+2y+1 = 0;$

$D = y^2-4(y-1)(2y+1) = -7y^2+4y+4$

Чтобы всегда были решения должно выполняться условие $D \geqslant 0$

То есть решение квадратного неравенства $-7y^2+4y+4 \geqslant 0$ будет являться областью значения данной функции.

Кстати знаменатель всегда положительный (можете проверить).

Имеем $E(y) = \Big(-\infty; \frac{-2+\sqrt{32}}{-7}\Big] \cup \Big[\frac{-2-\sqrt{32}}{-7}; +\infty\Big)$, где $E(y)$ - область значения данной функции.

[spaits]

Keter, уберите знак минус из знаменателя в ответе.

[spaits]

Если $x=1$, то $y=0$.
А у Вас ноль в ответ не входит.
Keter, Вы пишете: решение квадратного неравенства $-7y^2+4y+4\geqslant 0$ является областью значений данной функции. До сих пор у Вас было верно.
Но это неравенство равносильно неравенству $7y^2-4y-4\leqslant 0$, его решение - интервал $[\frac{2-\sqrt{32}}{7}; \frac{2+\sqrt{32}}{7}]$.
Это и есть ответ. Как видите, ноль входит в область значений функции. Вы перепутали интервалы.
Выделение целой части функции мало бы упростило решение данной задачи.

[Keter]

Согласен. Извините за такую нелепость. Немного приболел, видно от этого и запарился.

[W0lfdalE]

Всем спасибо за ответы.

[bot]

spaits в сообщении #511552 писал(а):

Выделение целой части функции мало бы упростило решение данной задачи

В исследовании на sup и inf это не основное, хотя считать значения в точках $x=3\pm 2\sqrt2$ после выделения целой части всё же проще.