Взаимно простые коэффициенты трёхчленов с целыми корнями

[Ktina]

(Оффтоп)

В качестве компенсации за слишком детскую задачу о сказках в книге

Докажите, что существует бесконечно много пар целых взаимно простых чисел (a,b) таких, что квадратные трехчлены $x^2+ax+b$ и $x^2+2ax+b$ оба имеют целые корни.

[Shadow]

$a^2-b \text{ и } a^2-4b$ точные квадраты. Пусть

$ \\a^2-4b=1\\ a^2-b=t^2 $

Из первого следует, что a и b взаимо простые.
$ \\3a^2=4t^2-1\\ (2t)^2-3a^2=1 $
Уравнение Пелля - бесконечное число решениий

[Ktina]

Shadow в сообщении #511090 писал(а):

$a^2-b \text{ и } a^2-4b$ точные квадраты. Пусть

$ \\a^2-4b=1\\ a^2-b=t^2 $

Из первого следует, что a и b взаимо простые.
$ \\3a^2=4t^2-1\\ (2t)^2-3a^2=1 $
Уравнение Пелля - бесконечное число решениий

Можно и иначе. Можно взять
$a=n^2-1$
и
$b=-(n)(n+2)(2n+1)$
при натуральном $n>1$
Если a и b не взаимопросты, то общим делителем может быть только тройка, но это возможно лишь при $n=3m+1$, и потом на эту троечку можно и сократить.
Получаем пары (3, -40), (8, -105), (5, -24), ...