2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Взаимно простые коэффициенты трёхчленов с целыми корнями
Сообщение02.12.2011, 22:12 
Аватара пользователя


01/12/11

8634

(Оффтоп)

В качестве компенсации за слишком детскую задачу о сказках в книге :wink:


Докажите, что существует бесконечно много пар целых взаимно простых чисел (a,b) таких, что квадратные трехчлены $x^2+ax+b$ и $x^2+2ax+b$ оба имеют целые корни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые коэффициенты трёхчленов с целыми корнями
Сообщение03.12.2011, 13:51 


26/08/11
2110
$a^2-b \text{ и } a^2-4b$ точные квадраты. Пусть

$
\\a^2-4b=1\\
a^2-b=t^2
$

Из первого следует, что a и b взаимо простые.
$
\\3a^2=4t^2-1\\
(2t)^2-3a^2=1
$
Уравнение Пелля - бесконечное число решениий

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые коэффициенты трёхчленов с целыми корнями
Сообщение03.12.2011, 15:19 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow в сообщении #511090 писал(а):
$a^2-b \text{ и } a^2-4b$ точные квадраты. Пусть

$
\\a^2-4b=1\\
a^2-b=t^2
$

Из первого следует, что a и b взаимо простые.
$
\\3a^2=4t^2-1\\
(2t)^2-3a^2=1
$
Уравнение Пелля - бесконечное число решениий

Можно и иначе. Можно взять
$a=n^2-1$
и
$b=-(n)(n+2)(2n+1)$
при натуральном $n>1$
Если a и b не взаимопросты, то общим делителем может быть только тройка, но это возможно лишь при $n=3m+1$, и потом на эту троечку можно и сократить.
Получаем пары (3, -40), (8, -105), (5, -24), ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group