При каком значении параметра полиномы делятся друг на друга?

[farewe11]

$$\frac{(x+1)^m-x^m-1}{(x^2+x+1)^2}$$

Нужно выяснить, при каких значениях $m$ числитель разделится на знаменатель.
Что я делаю: раскладываю $(x+1)^m$ по формуле бинома Ньютона. $x^m$ и $1$ сокращаются, ясное дело. В числителе остается это:

$$C^1_m x^{m-1} + C^2_m x^{m-2} + \dots + x = \frac{m!}{(m-1)!}x^{m-1} + \frac{m!}{(m-1)! 2!}x^{m-2} + \dots + \frac{m!}{(m-1)! 2!}x^2 + \frac{m!}{(m-1)!}x$$

Можно, конечно, упростить числитель дальше - уменьшить его длину в 2 раза, например, путём приведения подобных. Ведь у каждого слагаемого в числителе есть "парный" ему. Проблема в том, что не знаю, что дальше делать, после этого. Даже полиномы друг на друга столбиком не поделить. Как же про делимость их узнать-то?

[V.V.]

Найдите нули знаменателя. Так как вторая степень, то надо, чтобы эти нули были и корнями числителя, и корнями производной числителя.

[farewe11]

Нет действительных корней у знаменателя. Кстати, это задание у нас проходит по темам "Отношения делимости" и сопутствующие понятия - это к тому, что эту задачу не алгебраическим путём надо решить, это уж точно...

[V.V.]

farewe11 в сообщении #508973 писал(а):

Нет действительных корней у знаменателя.

Это неважно. Теорема Безу верна и для комплексных чисел.

[ИСН]

Ну и чем же можно пользоваться? Какие такие бывают отношения делимости и сопутствующие понятия у многочленов?

[farewe11]

ИСН в сообщении #508978 писал(а):

Ну и чем же можно пользоваться? Какие такие бывают отношения делимости и сопутствующие понятия у многочленов?

Ну как чем: всеми свойствами НОДа + способами решения сравнений (по Эйлеру и Ферма). Да проблема-то не в знании теории даже, а в том, что я не представляю, что от меня хотят. Если один полином делится на другой, это значит, что их НОД этих полиномов равняется одному из них (знаменателю). И.. что дальше-то? Полиномы друг на друга не поделить, никаких замен чисел на сравнимые с ними числа не сделать. В общем, теряюсь я что-то.

[farewe11]

Кстати, немного тут подумал, и, вроде, понял, как решить-то можно: найти корни знаменателя, и, с учетом кратности, подставить их в числитель и найти такие $m$, при которых они являются и корнями числителя. Теперь проблема лишь в том, чтобы решить такое уравненьице вроде такого:

$$\left( \frac{-1+i\sqrt3}{2}+1 \right)^m = \left( \frac{-1+i\sqrt3}{2} \right)^m+1$$

Никогда ещё не приходилось нечто подобное решать. Не подскажете, с чего начать?

[svv]

То, что в левой части в скобках, равно $e^{i\frac \pi 3}$ .
То, что в правой части в скобках, равно $e^{i\frac {2\pi} 3} = \left( e^{i\frac \pi 3} \right)^2$ .
Поэтому если обозначить $z= \left( e^{i\frac \pi 3} \right)^m$, то $z=z^2+1$, откуда $z=e^{\pm i\frac \pi 3}$ .

[farewe11]

Точно! Спасибо, я и забыл совсем про такую запись комплексных чисел.
Кстати, совсем забыл про ответ от v.v. - так как вторая степень, то корни должны быть ещё и корнями производной числителя. Таким образом, вся система, которую предстоит решить, выглядит так:
Для первого корня:

$$\left( \frac{-1+i\sqrt3}{2}+1 \right)^m = \left( \frac{-1+i\sqrt3}{2} \right)^m+1$$

$$m\cdot\left( \frac{-1+i\sqrt3}{2}+1 \right)^{(m-1)} = m\cdot\left( \frac{-1+i\sqrt3}{2} \right)^{(m-1)}$$

Для второго корня:

$$\left( \frac{-1-i\sqrt3}{2}+1 \right)^m = \left( \frac{-1-i\sqrt3}{2} \right)^m+1$$

$$m\cdot\left( \frac{-1-i\sqrt3}{2}+1 \right)^{(m-1)} = m\cdot\left( \frac{-1-i\sqrt3}{2} \right)^{(m-1)}$$

Давайте теперь решать.
Первое уравнение для 1го корня помог решить svv, из него следует, что $m = \pm1$. Замечательно, как же я мог упустить этот корень? ;)
Второе уравнение для первого корня:

$$m\cdot (e^{i\frac\pi3})^{m-1} = m\cdot(e^{i\frac{2\pi}3})^{m-1}$$

Решаем так же, получаем $m= \dots$Стоп стоп стоп, только сейчас повнимательнее глянул на производную - у неё ж корней-то нет, только $m=0$ и $m=1$.. Что-то я совсем запутался. Такими действиями я получу только $1$ и $0$ в виде ответа. Неужели это правильно? Или где-то я путаюсь? Если второе - то

(Оффтоп)

неудивительно, ибо у меня уже почти полседьмого утра

Что скажете-то?

[bot]

Танцуйте от периодичности функции $(e^{i\frac\pi3})^k$ натурального аргумента $k$.

[farewe11]

А ведь и правда она периодическая... Значения повторяются при $k = 1, 7, 13\dots$
Ведь верно? Что же, ответ будет тогда: 1, 7, 13..?

[bot]

Да

[INGELRII]

При $m=1$ числитель обращается в ноль. Оно, конечно, тождественно равный нулю многочлен - тоже многочлен, не хуже всех прочих. Да и на знаменатель, само собой, без остатка делится. И все же меня лично это как-то смущает...

[bot]

(Оффтоп)

Это ничего - это пройдёт. Когда первый раз замуж выходят, тоже смущаются.
Вот если начать отрицательные m брать ... тогда развод и девичья фамилия.

[farewe11]

Всё неверно. Это я и подозревал. Сегодня пытался сдать - надо, оказывается, не таким топорным методом решать, а всё-таки способом, имеющим отношение к теме "отношения делимости".
Если обозначим числитель за $P_m$, знаменатель за $Q_4$, то что мы можем написать? Вот что: $P_m\equiv 0 (mod Q_4)$. Куда двигаться? Совсем все мрачно, ибо полиномы друг на друга поделить не можем - я вообще не вижу выхода.. а вы?