Вращение круга в круге

[Unconnected]

Да, понятно, с живо представить проблем нет) Спасибо большое, разобрался

[svv]

Ёлки-палки, и с углом $\beta$ ошибка. Не $-\frac r {R-r} \alpha$, а $-\frac {R-r} r \alpha$.

Подробно формулу для $\beta$ можно обосновать так.
При угле $\alpha$ точка касания кругов имеет координаты $(R \cos\alpha, R\sin\alpha)$.
Значит, длина дуги большой окружности от исходной точки касания $(R,0)$ до текущей равна $R\alpha$.
Длина дуги малой окружности должна быть такой же. Но на малой окружности ей соответствует угол $\frac {R \alpha} r$. Этот угол нужно отложить назад от угла $\alpha$ текущей точки касания (уже относительно центра малого круга), получаем направление исходной точки касания на малой окружности: $\beta=\alpha-\frac {R \alpha} r=-\frac {R-r} r \alpha$.

Чтобы не писать новое сообщение, я выше просто исправил везде. К счастью, при $R=2r$ это ни на что не повлияло.

[Unconnected]

Цитата:

Этот угол нужно отложить назад от угла $\alpha$ текущей точки касания (уже относительно центра малого круга)

А зачем откладывать (вычитать)? Пройдена одинаковая дуга, $R \alpha = r \beta$, один угол изменился пропорционально второму, ну и всё.. $\beta$ отложен как раз от центра малого круга, что нам и нужно..

[svv]

Пусть $R=2r, \alpha=\frac {\pi}4=45°$
На большой окружности дуга начинается с угла $0$, заканчивается углом $\frac {\pi} 4$, имеет длину $\frac {\pi}4 R$.
На малой окружности соответствующая дуга имеет ту же длину $\frac {\pi}4 R = \frac {\pi} 2 r$. Но так как радиус малой окружности вдвое меньше, то угол, описываемый дугой относительно центра малой окружности M, вдвое больше, и равен $\frac \pi 2=90°$.

Но отсюда нельзя сделать вывод, что $\beta=2\alpha$. Начало дуги на малой окружности имеет направление $\beta$ (пока неизвестный угол), а конец $\alpha$ (всё относительно центра малой окружности). Значит, $\beta=\alpha-\frac {\pi}2 =-\frac {\pi} 4 = -\alpha$.

Вы можете с помощью картонной модели убедиться, что для $R=2r$ будет $\beta=-\alpha$, то есть малая окружность поворачивается по часовой стрелке на такой угол, на какой против часовой стрелки перемещается её центр относительно центра большой окружности.

А как это без вычитания получить из $R=2r$?

[Unconnected]

Долго не мог осознать эту неувязку, что вроде бы дуга такая же, а угол не такой..(хотя, на модели видно) так вот, это происходит потому, что вторая окружность движется? Т.е. если бы она не катилась, а просто на месте прокручивалась на нужную дугу, было бы $\alpha=\beta$ ?

Цитата:

Начало дуги на малой окружности имеет направление $\beta$ (пока неизвестный угол),

Направление дуги это что значит? Она начинается от начала $\beta$ ?

[svv]

Направление некоторого вектора $\vec r$ -- это угол $\varphi$, через который выражаются его компоненты: $r_x=|\vec r| \cos \varphi, r_y=|\vec r| \sin \varphi$.
По-другому, это угловая полярная координата конца вектора, если его начало находится в начале координат.
При этом направление $0$ соответствует положительному направлению оси $Ox$, и поворот на положительный угол -- это против часовой стрелки.

Если начало вектора для удобства помещено в другую точку (например, центр малой окружности), то можно мысленно поместить туда начало координат, тогда относительно этого начала направление вектора будет иметь обычный смысл -- "угловая координата конца".

Про дугу на малой окружности я говорил, что направление её начала равно $\beta=-\frac \pi 4$ относительно центра малой окружности. Т.е.имеется в виду направление вектора (центр малой окружности, начало дуги). Значит, на рисунке начало дуги на малой окружности будет вниз-вправо относительно центра малой окружности. А конец -- вверх-вправо. Вся дуга на малой окружности будет $\frac\pi 2=90°$.

Один рисунок всё бы прояснил. Если будет что-то непонятно, подумаем, как вам его передать.

[Unconnected]

А. Всё, дошло) Меня клинило на моменте, где берется $\alpha$ относительно центра малой окружности; он ассоциировался с большой и неправильно представлялся. Ещё раз спасибо)

[svv]

Ура!