УМФ замена для уравнения теплопроводности

[diman4eg]

Изначально была задача:
Решить методом Фурье уравнение:
$U_t=U_x_x+U+e^tf(x)$
$U(x;0)=\varphi_0(x)$
$U(0;t)=U(1;t)=Ae^t$

$0<x<1$
$t>0$
$A=\operatorname{const}$

Я сделал замену $U(x;t)=V(x;t)e^t$ и избавился от $e^t$ и $U$ в уравнении и условиях. Получилось:

$V_t=V_x_x+f(x)$
$V(x;0)=\varphi_0(x)$
$V(0;t)=V(1;t)=A$

Следующим шагом (преподаватель подсказал) еще одной заменой нужно свести это уравнение к $W_t=W_x_x$ (для которого решение известно), то есть избавиться от $f(x)$. Он так же подсказал, что замена должна быть в виде $V(x;t)=W(x;t)+F(x)$ где $F$ это какая-то функция зависящая только от $x$. Собственно, помогите найти такую замену или хотя бы мысли как ее искать

[Dan B-Yallay]

Рассмотрите $F(x) = - \displaystyle \int \int f(x) \ dx \, dx $.
Обозначения в интеграле у меня неправильные но идейные. Конечно имеется в виду функция, у которой вторая производная равна $-f(x)$

[diman4eg]

Dan B-Yallay в сообщении #510253 писал(а):

имеется в виду функция, у которой вторая производная равна $-f(x)$

сразу подумал про такую функцию, но непонятно как тогда перепишутся начальные и граничные условия? Мне кажется, тут все-таки нужно что-то в явном виде.

[Dan B-Yallay]

$$\begin{align} V(x,t)&=W(x,t)-F(x) \\ & \\ W(x,t)&= V(x,t)+F(x)\\ W(x,0)&=V(x,0)+F(x)= \varphi_0(x)+F(x)\\ W(0,t)&=V(0,t)+F(0)=A+F(0) \end{align}$$

как-то так