Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?

[VoyagerEternal]

Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?

Интересует либо общий случай: $\sum\limits_{x=0}^{N-1}f(x)$ = \int\limits_{?}^?...dx
либо частный случай: $\sum\limits_{x=0}^{N-1}ae^{bx}$, где e - экспонента

вот так уже пробовал: $\sum\limits_{x=0}^{N-1}ae^{bx} = \int\limits_{0}^N ae^{bx} dx = {\frac a b e^{bx}}|^N_0 = \frac a b e^{bN} - \frac a b = \frac a b (e^{bN} - 1)$
при N = 1 должно получиться $ae^b$, а получается $\frac a b (e^b - 1)$

[ИСН]

Никак.

[kiyanyn]

ИСН в сообщении #510031 писал(а):

Никак.

Ну, не то чтобы непосредственно вычислять , но... Например, "Конкретная математика", глава 2 "Суммы", раздел 2.5 "Общие методы", метод 4: замена сумм интегралами.

Другое дело, что человек почему-то решил, что такая замена даст точные результаты...

[VoyagerEternal]

мне не нужны точные результаты - нужны приблизительные с низкой погрешностью, при N > 16

[svv]

Надо заменить функцию $f(x)$ ступенчатой функцией $f([x])$, тем самым сумма сведётся к интегралу от ступенчатой функции.
Кстати, есть метод для вычисления таких интегралов: через суммы.

[Klad33]

$\sum \limits_{x=0}^{N-1} a e^{bx}=\frac{a \big (e^{bN}-1 \big )}{e^b-1}$

$\int \limits_0^N \frac{a b e^{bx}}{e^b-1} dx = \frac{a \big (e^{bN}-1 \big )}{e^b-1} $

[VoyagerEternal]

Klad33 в сообщении #510054 писал(а):

$\sum \limits_{x=0}^{N-1} a e^{bx}=\frac{a \big (e^{bN}-1 \big )}{e^b-1}$

$\int \limits_0^N \frac{a b e^{bx}}{e^b-1} dx = \frac{a \big (e^{bN}-1 \big )}{e^b-1} $

почти, методом тыка исправил ошибку:
$\sum \limits_{x=0}^{N-1} e^x=\frac{e^2 \big (e^N-1 \big )}{e-1}$

а как Вы вывели формулу?

[ИСН]

Ошибки не было, зато теперь есть. А формулу - видимо, Klad33 учился в секретной школе, где проходят геометрические прогрессии.

[Klad33]

Это слишком известный ряд. Я с ним постоянно имею дело по работе.

-- 30.11.2011, 17:31 --

Верно так:

$\sum \limits_{x=0}^{N-1} e^x=\frac{e^N-1 }{e-1}$

[VoyagerEternal]

ИСН в сообщении #510072 писал(а):

Ошибки не было, зато теперь есть. А формулу - видимо, Klad33 учился в секретной школе, где проходят геометрические прогрессии.

))) смешно

[Lia]

Бессодержательные сообщения отделены в «Проблемы с арифметикой»