Борелевская сигма-алгебра

[2FED]

Добрый день. Вобщем-то вопрос заключается в следующем:

Определение борелевской сигма-алгебры указывает что это минимальная сигма-алгебра содержащая множество всех интервалов на вещественной прямой. Правильно ли я понимаю, чтобы получить борелевскую сигма-алгебру нужно добавить к минимальной сигма-алгебре еще пересечение и дополнение сигма-алгебры с любым интервалом на вещественной прямой?
Можно ли сказать что определение этой сигма-алгебры дает возможность четко задать понятие событие как элемент борелевской сигма-алгебры событие и задать вероятность ?

Спасибо.

[JMH]

2FED в сообщении #509880 писал(а):

Определение борелевской сигма-алгебры указывает что это минимальная сигма-алгебра содержащая множество всех интервалов на вещественной прямой. Правильно ли я понимаю, чтобы получить борелевскую сигма-алгебру нужно добавить к минимальной сигма-алгебре еще пересечение и дополнение сигма-алгебры с любым интервалом на вещественной прямой?

Не так. Борелевская $\sigma$-алгебра это минимальная $\sigma$-алгебра, определённая на множестве, являющемся топологическим пр-вом так, что все открытые множества этого топологического пр-ва принадлежат упомянутой $\sigma$-алгебре.

2FED в сообщении #509880 писал(а):

Можно ли сказать что определение этой сигма-алгебры дает возможность четко задать понятие событие как элемент борелевской сигма-алгебры событие и задать вероятность ?

Туманно излагаете Почитайте, как определяется мера на множествах; вероятность - разновидность меры.

[--mS--]

2FED в сообщении #509880 писал(а):

Правильно ли я понимаю, чтобы получить борелевскую сигма-алгебру нужно добавить к минимальной сигма-алгебре еще пересечение и дополнение сигма-алгебры с любым интервалом на вещественной прямой?

Нет такого понятия "минимальная сигма-алгебра" как объект. Слова "минимальная сигма-алгебра, содержащая что-то там" следует читать как "самая маленькая среди всех сигма-алгебр, содержащих что-то там". Иначе говоря, как пересечение всех таковых сигма-алгебр.

[PAV]

Борелевская сигма-алгебра на прямой - это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Или (эквивалентно) - минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые интервалы. Или (эквивалентно) - сигма-алгебра, порожденная всеми открытыми множествами (или интервалами). Или - сигма алгебра, элементами которой являются в точности такие множества, которые входят в любую сигма-алгебру, содержащую все открытые множества (или интервалы).

2FED в сообщении #509880 писал(а):

Правильно ли я понимаю, чтобы получить борелевскую сигма-алгебру нужно добавить к минимальной сигма-алгебре еще пересечение и дополнение сигма-алгебры с любым интервалом на вещественной прямой?

Совершенно бессмысленный набор слов. Что такое "дополнение сигма-алгебры" или "пересечение сигма-алгебры с интервалом" - непонятно.

2FED в сообщении #509880 писал(а):

Можно ли сказать что определение этой сигма-алгебры дает возможность четко задать понятие событие как элемент борелевской сигма-алгебры событие и задать вероятность ?

Бессмысленный набор слов.

Вопрос о том, зачем нужна сигма-алгебра (в рамках теории вероятностей), на самом деле распадается на два подвопроса. Первый - зачем мы вообще только элементы некоторый сигма-алгебры называем "событиями" и только для них определяем вероятность. Дело в том, что если Вы имеете некоторое "событие" (то есть для него определена вероятность), то естественно иметь право говорить не только о вероятности того, что данное событие произошло, но и о вероятности того, что оно не произошло. А для этого необходимо, чтобы его дополнение тоже было событием, то есть совокупность "событий" должна быть замкнута относительно взятия дополнений. Аналогичным образом, имея два события, мы хотим всегда иметь возможность говорить о вероятности того, что они произойдут одновременно. Это влечет необходимость замкнутости относительно пересечений. Это (вкупе с тем, что пустое множество считается событием) приводит к тому, что события должны образовывать алгебру. Для простейших вещей алгебры может хватить, однако для более продвинутых этого недостаточно, нужна сигма-аглебра.

Второй подвопрос - почему нужно брать именно борелевскую, а не какую-то иную. Более узкую брать в общем виде неудобно, потому что интервалы на прямой - это очень естественные множества, необходимые для практической работы, и мы безусловно хотим иметь возможность говорить о вероятности попадания случайной величины в любой нужный нам интервал. Впрочем, в некоторых частных случаях могло бы хватить и более узкой, однако это все равно не очень удобно.

А почему не брать более широкую - тоже можно объяснить: в этом случае возникнут проблемы с заданием вероятности. Для борелевской сигма-алгебры достаточно задать вероятность только на интервалах (причем даже достаточно только брать интервалы специального вида, что делается в функции распределения с.в.), после чего она единственным образом продолжается на всю борелевскую сигма-алгебру. А если Вы захотите взять более широкий класс событий, тогда такого единственного продолжения уже может и не быть, и корректное задание вероятности (с сохранением всех необходимых для работы с ней свойств) станет уже нетривиальной задачей (или даже невозможной). Таким образом получается вилка: меньше - слишком бедно и неудобно, больше - слишком сложно. А борелевской аккурат хватает.

[2FED]

Цитата:

Правильно ли я понимаю, чтобы получить борелевскую сигма-алгебру нужно добавить к минимальной сигма-алгебре еще пересечение и дополнение сигма-алгебры с любым интервалом на вещественной прямой?

Я имел в виду, что если взять некоторую минимальную сигма-алгебру, то есть определенное множество, и множество интервалов на вещественной прямой, тогда по-моему в борелевскую сигма-алгебру будет входит
и вышеупомянутые два множества и пересечение , дополнение любых элементов из этих двух множеств.

[--mS--]

2FED в сообщении #509979 писал(а):

Я имел в виду, что если взять некоторую минимальную сигма-алгебру, то есть определенное множество

Вы прочитали моё сообщение? Вы неправильно понимаете слова в определении борелевской сигма-алгебры. Не бывает никаких "минимальных сигма-алгебр" (кроме, разве что, тривиальной $\{\mathbb R, \varnothing\}$, которая является минимальной в классе всех возможных сигма-алгебр).

[2FED]

Я вас понял, но разве здесь это важно? Безусловно вы правы, я не правильно выразился. Даже если она самая маленькая содержащая что-то там, мой вопрос не решает эта поправка.

Цитата:

тогда по-моему в борелевскую сигма-алгебру будет входит
и вышеупомянутые два множества и пересечение , дополнение любых элементов из этих двух множеств.

Это верно ?

[--mS--]

2FED в сообщении #510017 писал(а):

Цитата:

тогда по-моему в борелевскую сигма-алгебру будет входит
и вышеупомянутые два множества и пересечение , дополнение любых элементов из этих двух множеств.

Это верно ?

Этих двух - это каких? Множества всех интервалов на прямой и какого?

[2FED]

И сигма-алгебры.

[--mS--]

2FED в сообщении #510131 писал(а):

И сигма-алгебры.

Какой? Здесь не чат: давайте, пожалуйста, полные ответы.

[2FED]

Сигма-алгебра это же множество. Множество всех интервалов на прямой и множество ( сигма-алгебра).

[--mS--]

2FED в сообщении #510280 писал(а):

Сигма-алгебра это же множество. Множество всех интервалов на прямой и множество ( сигма-алгебра).

Какая конкретно сигма-алгебра? Вы понимаете, что сигма-алгебр безумно много?

В общем, следует констатировать, что Вам стоит познакомиться с определением сигма-алгебры, с примерами сигма-алгебр, и т.д. Рискну предложить вот такой источник - он для изучения основных понятий с нуля: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node9.html#SECTION000410

[2FED]

Безусловно, сигма-алгебр безумно много, тогда борелевских сигма-алгебр безумно много тоже.
Наверное вы правы, мне стоит четче поставить вопрос. Спасибо за терпение

[PAV]

2FED в сообщении #510354 писал(а):

Безусловно, сигма-алгебр безумно много, тогда борелевских сигма-алгебр безумно много тоже.

Это не так, борелевская сигма-алгебра одна единственная, она однозначно задается своим определением.

-- Чт дек 01, 2011 11:25:59 --

Не исключаю, что Ваше непонимание отчасти подпитывается тем, что Вы употребляете термин "множество" и в отношении множеств на прямой (которые могут быть элементами сигма-алгебр) и в отношении самих сигма-алгебр. Попробуйте называть сигма-алгебры не множеством, а совокупностью множеств. Возможно, это поможет быстрее придти к пониманию. Например, Вы не станете пытаться объединять или пересекать саму сигма алгебру с интервалом на прямой. Это невозможно, так как эти "множества" находятся на разных уровнях, и теоретико-множественные операции над ними производить нельзя.

[iakovk]

PAV в сообщении #510362 писал(а):

Это невозможно, так как эти "множества" находятся на разных уровнях, и теоретико-множественные операции над ними производить нельзя.

Вы издеваетесь, да? Почему нельзя-то? И что такое уровни?