2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 16:33 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
$$ \int \sqrt{ax^2+bx+c}\;\;dx$$

Всегда ли можно свести результаты, полученные 2 методом к результатам, полученным 1 методом (по частям).
Зачем нужен второй метод, если первый гораздо удобнее?

1-ый метод -- по частям

2-ой метод Выделение полного квадрата и сведение только к одному из трех вариантов:

a) $\int \sqrt{x^2+a^2}dx$

Замена $x=a\sh x$ ($x=a\sh x$) или $x=a\tg x$

b) $\int \sqrt{x^2-a^2}dx$

А какая тут замена?

c) $\int \sqrt{a^2-x^2}dx$

Замена $x=a\sin t$ ($x=a\cos x$)

Существуют ли еще интересные методы взятия такого интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Как обычно: неудобный метод нужен потому, что удобный не работает.
Что же касается замены в (b), то её можно постичь пристальным взглядом на остальные случаи. Нужна какая-то функция, которая после вот такого преобразования красиво......

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 16:42 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
ИСН в сообщении #509686 писал(а):
Как обычно: неудобный метод нужен потому, что удобный не работает.
Что же касается замены в (b), то её можно постичь пристальным взглядом на остальные случаи. Нужна какая-то функция, которая после вот такого преобразования красиво......


А по частям не всегда получится взять такой интеграл?

До замены не догадаться(

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Дак попробуйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 17:25 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Эх, сейчас меня забанят... Посмотрите на случай (a). Там замена на гиперболический синус. Теперь на случай (b). Подкоренное выражение то же самое, только не плюс а-квадрат, а минус. Нам нужно взять такую замену $x=a f(t)$, чтобы выполнялось $\sqrt{(a f(t))^2 - a^2} = a g(t)$. Можете вы вспомнить или придумать такие функции $f$ и $g$, чтобы равенство выполнялось? Конечно, можете, раз уж вы знаете, что такое гиперболический синус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 18:58 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
$g(t)=\ch t$?

ИСН в сообщении #509693 писал(а):
Дак попробуйте.


Ок, попробую, чуть позже запишу!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 21:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/09/11

650
Проще взять интеграл:

$ \int \sqrt{x^2+px+q}=$
$ =\frac{1}{2} \left( x \,+\frac{p}{2}\, \right) \sqrt {{x}^{2}+px+q}+ \left( \frac{q}{2}\,-\frac{p^2}{8}\, \right) \ln  \left( x \,+\frac{p}{2}+\sqrt {{x}^{2}+px+q} \right)+C  $

И откорректировать коэффициенты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 21:47 


22/11/11
380

(Оффтоп)

Сложно такой интеграл назвать табличным)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 22:38 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Klad33 в сообщении #509794 писал(а):
Проще взять интеграл:

$ \int \sqrt{x^2+px+q}=$
Я посмотрел таблицы, но там только интегралы типа $\int f(x)\,dx$. А таких (от которых кирпич падает, см. где-то на форуме) — нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 22:39 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/09/11

650
Я в таблицы 20 лет не смотрю. Интересней брать ручками. Вот разве сложно брать такой?:

$ \int \sqrt{(x+a)^2+b}\, dx = 0.5(x+a)\sqrt{(x+a)^2+b}+0.5b \ln \big [x+a+\sqrt{(x+a)^2+b}\big ] +C $

Если мой студент такое не сделает, я его выгоняю учиться, учиться и учиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 23:29 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Интересно, а что в аналогичном случае произошло бы с одним преподавателем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как оптимально взять этот интеграл
Сообщение29.11.2011, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
AKM в сообщении #509862 писал(а):
Интересно, а что бы в аналогичном случае произошло с одним преподавателем?

Лестничный пролёт? :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group