Как оптимально взять этот интеграл

[freedom_of_heart]

$$ \int \sqrt{ax^2+bx+c}\;\;dx$$

Всегда ли можно свести результаты, полученные 2 методом к результатам, полученным 1 методом (по частям).
Зачем нужен второй метод, если первый гораздо удобнее?

1-ый метод -- по частям

2-ой метод Выделение полного квадрата и сведение только к одному из трех вариантов:

a) $\int \sqrt{x^2+a^2}dx$

Замена $x=a\sh x$ ($x=a\sh x$) или $x=a\tg x$

b) $\int \sqrt{x^2-a^2}dx$

А какая тут замена?

c) $\int \sqrt{a^2-x^2}dx$

Замена $x=a\sin t$ ($x=a\cos x$)

Существуют ли еще интересные методы взятия такого интеграла?

[ИСН]

Как обычно: неудобный метод нужен потому, что удобный не работает.
Что же касается замены в (b), то её можно постичь пристальным взглядом на остальные случаи. Нужна какая-то функция, которая после вот такого преобразования красиво......

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #509686 писал(а):

Как обычно: неудобный метод нужен потому, что удобный не работает.
Что же касается замены в (b), то её можно постичь пристальным взглядом на остальные случаи. Нужна какая-то функция, которая после вот такого преобразования красиво......

А по частям не всегда получится взять такой интеграл?

До замены не догадаться(

[ИСН]

Дак попробуйте.

[INGELRII]

Эх, сейчас меня забанят... Посмотрите на случай (a). Там замена на гиперболический синус. Теперь на случай (b). Подкоренное выражение то же самое, только не плюс а-квадрат, а минус. Нам нужно взять такую замену $x=a f(t)$, чтобы выполнялось $\sqrt{(a f(t))^2 - a^2} = a g(t)$. Можете вы вспомнить или придумать такие функции $f$ и $g$, чтобы равенство выполнялось? Конечно, можете, раз уж вы знаете, что такое гиперболический синус.

[freedom_of_heart]

$g(t)=\ch t$?

ИСН в сообщении #509693 писал(а):

Дак попробуйте.

Ок, попробую, чуть позже запишу!

[Klad33]

Проще взять интеграл:

$ \int \sqrt{x^2+px+q}=$
$ =\frac{1}{2} \left( x \,+\frac{p}{2}\, \right) \sqrt {{x}^{2}+px+q}+ \left( \frac{q}{2}\,-\frac{p^2}{8}\, \right) \ln \left( x \,+\frac{p}{2}+\sqrt {{x}^{2}+px+q} \right)+C $

И откорректировать коэффициенты.

[Andrei94]

(Оффтоп)

Сложно такой интеграл назвать табличным)

[AKM]

Klad33 в сообщении #509794 писал(а):

Проще взять интеграл:

$ \int \sqrt{x^2+px+q}=$

Я посмотрел таблицы, но там только интегралы типа $\int f(x)\,dx$. А таких (от которых кирпич падает, см. где-то на форуме) — нет.

[Klad33]

Я в таблицы 20 лет не смотрю. Интересней брать ручками. Вот разве сложно брать такой?:

$ \int \sqrt{(x+a)^2+b}\, dx = 0.5(x+a)\sqrt{(x+a)^2+b}+0.5b \ln \big [x+a+\sqrt{(x+a)^2+b}\big ] +C $

Если мой студент такое не сделает, я его выгоняю учиться, учиться и учиться.

[AKM]

Интересно, а что в аналогичном случае произошло бы с одним преподавателем?

[Dan B-Yallay]

AKM в сообщении #509862 писал(а):

Интересно, а что бы в аналогичном случае произошло с одним преподавателем?

Лестничный пролёт?