Найти радиус сходимости степенного ряда

[Andrei94]

Найти радиус сходимости степенного ряда.

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(x+10)^{2n}}{15^n}$

Можно ли так сделать?

$(x+10)^{2}=y$

$R=\dfrac{1}{\sqrt[n]{15^n}}=\dfrac{1}{15}$

$R=1/15$ -радиус сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{y^{n}}{15^n}$

В тоже время $R=1/15$ -радиус сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(x+10)^{2n}}{15^n}$

[alcoholist]

Вы перепутали $R$ и $1/R$

[AVE]

$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{y^n}{15^n}= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\frac{y}{15})^{n}$
Радиус сходимости - $R = 15$
$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{15^n}= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\frac{x}{\sqrt{15}})^{2n}$
Радиус сходимости - $R = \sqrt{15}$

[Andrei94]

Ок, спасибо, понятно

-- 29.11.2011, 13:36 --

А что изменится, если $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{(x+10)^{2n}}{15^n}$

Там же $-1$ все испортит, из нее корень не извлечь((

[Andrei94]

AVE в сообщении #509558 писал(а):

$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{y^n}{15^n}= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\frac{y}{15})^{n}$
Радиус сходимости - $R = 15$
$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{15^n}= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\frac{x}{\sqrt{15}})^{2n}$
Радиус сходимости - $R = \sqrt{15}$

А если для такого примера -- как?

$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{(x+10)^{2n}}{15^n}$

$\sum\limits_{n=1}^\infty \Big({\sqrt{-1}}\cdot \dfrac{(x+10)}{\sqrt 15}\Big)^{2n}$

Как-то странно тогда получается $\sqrt{-1}$

-- 29.11.2011, 14:49 --

alcoholist в сообщении #509557 писал(а):

Вы перепутали $R$ и $1/R$

Ок, спасибо, путаю с признаком Коши!

[ИСН]

Тут сперва надо понять, что такое радиус сходимости. Вот ряд: $\sum(-1)^n\cdot x^n$. У него он какой?

-- Вт, 2011-11-29, 15:52 --

(Оффтоп)

Да, мне кажется принципиально неправильным "короткий" путь - сказать что-то вроде "Дорогой товарищ, ты забыл про две отдельно стоящие палочки в формуле".

[Andrei94]

ИСН в сообщении #509633 писал(а):

Тут сперва надо понять, что такое радиус сходимости. Вот ряд: $\sum(-1)^n\cdot x^n$. У него он какой?

$R=\dfrac{1}{\sqrt[n]{|-1|}}=1$

-- 29.11.2011, 15:06 --

Ясно, то есть нужно не забывать ставить модуль...

[ИСН]

Вот

[myra_panama]

AVE в сообщении #509558 писал(а):

$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{15^n}= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\frac{x}{\sqrt{15}})^{2n}$
Радиус сходимости - $R = \sqrt{15}$

А как это так?

[INGELRII]

Слышали такие страшные слова: признак, Коши, Адамар? Погуглите и возрадуйтесь.