Сравнение для простых и псевдопростых.

[Батороев]

Для простых чисел и составных, псевдопростых по основанию 2, чисел можно составить сравнение:
$[(n+1)^{n}-(n-1)^{n}-0,5(n^{2}+5n+2)]\equiv0mod(n^2-1)
где n – целое число, кратное 6.

Существуют ли математические методы, позволяющие доказать:
А. Что чисел, удовлетворяющих условию данного сравнения, бесконечно много?
B. Что количество составных чисел, псевдопростых по основанию 2, по всей длине числовой оси меньше, чем количество чисел, обозначенных в п. А?
С. Могут ли два составных, псевдопростых по основанию 2, числа удовлетворять условию данного сравнения при одном и том же n?

[RIP]

Вы уверены, что верно написали сравнение? Если да, то я не понимаю, при чем здесь простые числа (я не вижу их в формуле).

[Батороев]

Прошу простить меня сердечно за то, что, зациклившись на мыслях, совершенно невнятно их выразил.
Речь, конечно же, идет о числах (n+1) и (n-1) и суть вопроса заключается в том, что в проблеме простых-близнецов, по-видимому, нет смысла рассматривать все числа вида (6n+-1). Может быть, имеется возможность выявить только те места, где могут «обитать» близнецы?
Если это возможно, то возникает второй вопрос: какие числа помимо простых претендуют на эти же места и много ль их (т.е., хватит ли для всех мест)?
Третий вопрос не связан с остальными и задан больше из любопытства: могут ли существовать в парах (6n+-1) одновременно два, псевдопростых по основанию 2, составных числа (эдаких, «взаимопсевдопростых»)?
По последнему вопросу: один математик для меня проверил числа до 600 млн и не нашел ни одной пары. По-видимому, такие пары или очень редки, или их нет, но теоретически доказать ни того, ни другого я не смог.

[RIP]

Вряд ли Ваше сравнение изучать легче, чем сравнение
$2^{n+1}\equiv3n+5\pmod{n^2-1}$
или систему сравнений

$$\left\{\begin{matrix}2^{n+1}\equiv2\pmod{n+1},\\ 2^{n-1}\equiv2\pmod{n-1}.\end{matrix}\right.$$

При четных $n$ они все эквивалентны.
Я, конечно, не специалист, но, по-моему, логичнее решение Вашего сравнения свести к последней системе, а не наоборот (больно уж страшно выглядит Ваше сравнение). Но я вполне могу быть и неправ.

[PAV]

Тема перенесена в основной раздел, так как я в ней признаков дискуссионности не нахожу.

[Батороев]

RIP писал(а):

Вряд ли Ваше сравнение изучать легче, чем сравнение
$2^{n+1}\equiv3n+5\pmod{n^2-1}$
или систему сравнений

$$\left\{\begin{matrix}2^{n+1}\equiv2\pmod{n+1},\\ 2^{n-1}\equiv2\pmod{n-1}.\end{matrix}\right.$$

При четных $n$ они все эквивалентны.
Я, конечно, не специалист, но, по-моему, логичнее решение Вашего сравнения свести к последней системе, а не наоборот (больно уж страшно выглядит Ваше сравнение). Но я вполне могу быть и неправ.

Вы совершенно правы, что мое сравнение - сведенное в одно последняя система сравнений. Я пытался, правда в Excel'е, считать по системе сравнений, но мне показалось, что лучше свести, чтобы получать ответы в одном "месте". Ну, да Бог с ним.

Пользуясь случаем, хочу поделиться одним соображением, которое пришло мне недавно.

Размышляя по вопросу бесконечности простых-близнецов (а о чем еще могут размышлять новички? - конечно же, о чем-нибудь глобальном, тонкостей же не знают ) мне показалось, что эта проблема есть часть другой - большей, т.е. бесконечности пар простых, участвующих в любой арифметической прогрессии, с любой разностью d (d - четное число, для классических близнецов - d=2).
Эту бОльшую проблему можно сформулировать иначе: любое четное число представимо в виде разности двух простых, причем эта "представимость" бесконечна.
И здесь, уже появляется ее созвучность с проблемой Гольдбаха (любое четное число не менее, чем 1 раз, представимо в виде суммы двух простых чисел). Эту связь, в принципе, можно показать (не доказать, а именно, показать).
Если я не "изобретаю велосипед" и если Вам или кому-то еще покажется это интересным, то я готов показать эту визуальную интерпретацию.

[RIP]

Батороев писал(а):

Эту бОльшую проблему можно сформулировать иначе: любое четное число представимо в виде разности двух простых, причем эта "представимость" бесконечна.

Такая гипотеза существует (конечно, не доказана).

Батороев писал(а):

И здесь, уже появляется ее созвучность с проблемой Гольдбаха (любое четное число не менее, чем 1 раз, представимо в виде суммы двух простых чисел). Эту связь, в принципе, можно показать (не доказать, а именно, показать).
Если я не "изобретаю велосипед" и если Вам или кому-то еще покажется это интересным, то я готов показать эту визуальную интерпретацию.

Лично мне было бы интересно послушать.
Насчет велосипеда не знаю.

[Батороев]

RIP писал(а):

Лично мне было бы интересно послушать.

Я постараюсь в течение ~ 2-х недель подготовить рисунки и комментарий.

[maxal]

Где-то я это сравнение уже видел, подозреваю что на форуме MMonline.


Если вопрос C понимать как могут ли n-1 и n+1 быть одновременно псевдопростыми по основанию 2, то ответ - да. Наименьший такой пример дает $n=4370.$

[RIP]

Там еще было условие, что $n$ делится на $6$.

[maxal]

Вот то обсуждение:
http://www.mmonline.ru/forum/read.php?f=1&i=5495&t=5495

[Батороев]

maxal писал(а):

Вот то обсуждение:
http://www.mmonline.ru/forum/read.php?f=1&i=5495&t=5495

Я хорошо помню это обсуждение... т.к. первый раз "повстречался" с Maxal'ом.

Я тогда полагал, что указанное выше сравнение должно находить только пары либо простых, либо пары "простое-число Кармайкла".
Maxal привел контр-примеры пар "простое-псевдопростое" (ПР-ПС), отличных от чисел Кармайкла.
Но их количество, все же, значительно уступало количеству пар "простое-простое" (ПР-ПР) и ныне, мне показалось интересным выяснить, какова тенденция дальше, т.е. будут ли доля пар ПР-ПС возрастать (или уменьшаться) в процентном отношении относительно пар ПР-ПР?
Естественно, что такой вопрос может быть актуалным, если мое сранение (или система сравнеий предложенная RIP'ом) имеют решение на всей числовой оси.

Вопрос С. и тогда остался открытым.
Позже, я долго думал над ним, но кроме того, что, если пары ПС-ПС и существуют (при n, кратном 6), то они должны быть чрезвычайно редки, дальше не продвинулся.

[maxal]

Вот кое-какие смежные задачи про псевдопростые числа по основанию 2: http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_170.htm

[Батороев]

Грандиозен и потрясающ тот объем знаний, которым Вы, уважаемый Maxal, обладаете!
Вы - прямой конкурент фирмы "Rambler, Yandex & Google".

Добавлено спустя 55 минут 4 секунды:

Как бывший "француз", я не разбираюсь в английском, но на указанном Вами сайте заинтерсовал меня question 6.
У меня такое подозрение, что Вы, предоставив когда-то мне контр-примеры, тем самым, уважаемый Maxal, ответили на question 6, например: 2^4681=2mod(4681), где 4681=31*151 и т.д.
Или я не правильно понял условие данной задачи?

[maxal]

Знания тут не при чем, это скорее умение искать нужную информацию. В интернете есть свежая информация практически по любой тематике, и, умея ее находить, можно сэкономить кучу времени.

Насчет задачи 6 - там вопрошают про четные psp(2), число 4681 таковым не является.