Среднее арифметическое, медиана, мода, ...

[longstreet]

Я же своими глазами (по-моему) многократно встречал, что закон больших чисел справедлив не только для среднего арифметического, а и для медианы, и для моды.

ИСН, и уж во всяком случае я точно знаю, что для одной специальной медианы (медиана Кемени) закон больших чисел доказан (видел доказательство).

[ИСН]

Я Вам только что на примере банального кубика показал, что медиана (и мода, кстати, тоже) может вовсе не сходиться. Вы кому верите: своим глазам или своим глазам?
А медиана Кемени к обычной медиане имеет примерно такое отношение, как самолёт к самокату.

[longstreet]

Правильно ли я понимаю, что Вы отрицаете справедливость закона больших чисел для медианы и для моды?

-- 29.11.2011, 14:05 --

Цитата:

А медиана Кемени к обычной медиане имеет примерно такое отношение, как самолёт к самокату.

В случае моей задачи я и хочу показать, что использование медианы Кемени лучше, чем другие способы "усреднения". В частности, хотелось бы показать (если это так), что она быстрее сходится к истинному значению, чем если к выборке применять обычную медиану или другие способы. Как это сделать?

(Оффтоп)

Как показать, что самолёт лучше самоката?

Расстояние Кемени-Снелла позволяет сравнивать упорядоченности (например, по предпочтениями). А медиана Кемени позволяет находить центральную (в некотором смысле) тенденцию, то есть усреднить набор упорядоченностей.

Общее между медианой Кемени и обычной медианой хотя бы в том, что они всегда есть статистики (то есть если на поле есть игроки с номерами 1,2,3,... мы получим как ответ одно из этих чисел, а не, например, 3,5 - такого номера нет,однако используя среднее арифметическое мы можем получить 3,5). И общее то, что и обычная медиана и медиана Кемени в общем случае неединственны.

[ИСН]

Моё дело привести пример, а дальше смотрите сами. Впрочем, готов конкретизировать моё отношение к утверждению (отрицаю или нет), как только Вы сформулируете это утверждение полностью. А то, может, там много разных законов больших чисел.

[Александрович]

Если для нормального распределения, то выборочное среднее значение быстрее сходится к матожиданию с ростом n, чем выборочная медиана к генеральной. Но медиана более защищена от выбросов.

[longstreet]

Цитата:

Моё дело привести пример, а дальше смотрите сами.

ИСН, с примером - это Вы круто. Но, может, закон больших чисел справедлив (или его аналог) и для среднего арифметического, и для медианы, и для моды, но друг к другу они не сходятся?

Может, это имел в виду venco?

Цитата:

Мода выборки приближается к моде всего множества (если она есть).
Медиана выборки приближается к медиане всего множества.
Среднее арифметическое выборки приближается к среднему арифметическому всего множества.
Но все эти "идеальные" средние могут быть разными, и друг к другу не сходятся

Действительно, давайте разберёмся с самим законом.

Закон больших чисел для среднего арифметического я понимаю так.
У нас есть выборка результатов и мы "усредняем" их с помощью среднего арифметического. Если мы будем увеличивать выборку, то результат усреднения будет приближаться к истинному. Если неограниченно увеличиваем выборку, то результат неограниченно приближается к единице.

Законы больших чисел для медианы и моды аналогичны.

В целом, я думаю, это всё означает, что, увеличивая выборку, можно приблизится к некоторому истинному среднему независимо от того, каким из способов "усреднений" пользоваться: средним арифметическим, медианой, модой . Но "скорость" этого приближения может быть разной.

-- 29.11.2011, 14:28 --

Цитата:

Если для нормального распределения, то выборочное среднее значение быстрее сходится к матожиданию с ростом n, чем выборочная медиана к генеральной.

Как это показать?

[Александрович]

longstreet в сообщении #509617 писал(а):

Цитата:

Если для нормального распределения, то выборочное среднее значение быстрее сходится к матожиданию с ростом n, чем выборочная медиана к генеральной.

Как это показать?

Видно по дисперсии среднего значения и медианы.

[longstreet]

Александрович в сообщении #509618 писал(а):

Цитата:

Видно по дисперсии среднего значения и медианы.

Мне это видно только в каком-то конкретном случае (для конкретной выборки), но как показать это в общем случае?

[PAV]

Закон больших чисел с точностью до некоторых технических деталей один. Он гласит, что если случайная величина имеет конечное математическое ожидание, то усреднение (среднее арифметическое) независимых реализаций этой случайной величины сходится к этому значению при увеличении количества этих реализаций. Несколько подробнее об этом Вы можете прочесть в википедии.

Никакого закона больших чисел для медианы или моды нет. Если Вы такой знаете - приведите точную формулировку, пожалуйста.

[longstreet]

Самое время признаться. Точных формулировок аналогов закона больших для медианы и моды я не знаю. Но я точно неоднократно встречал в литературе утверждение о том, что аналоги закона больших чисел для медианы и для моды существуют и справедливы. В ближайшее время я постараюсь найти места, где я это видел.

В моей задаче я имею дело с медианой Кемени. Но я подумал, что проще сначала разобраться с обычной медианой. И показать как-то (и если это так), что результат использования одного способа "быстрее" стремится к истинному, чем другой способ.

Для медианы Кемени аналог закона больших чисел есть. Приведу ссылку на него в виде цитаты:

Цитата:

из книги Кибернетическое программирование. Некоторые приложения. Дж. Кемени, Дж. Снелл, Москва,1972, стр. 34.

{...выше излагается что такое медиана Кемени...}

Обоснованием такого метода согласования упорядочений может служить следующее. Предположим, что мы хотим найти согласованное упорядочение для всего населения. Но мы не имеем средств для такого количества объектов, поэтому случайным образом выбираем нескольких "экспертов". Из более общей теоремы* следует, что если выборка достаточно велика, то вероятность того, что мы получим искомое согласованное упорядочение, очень близка к $1$. И мы можем сделать эту вероятность сколь угодно близкой к $1$ с помощью увеличения выборки.

*John G. Kemeny. Generalized random variables, Pacific Journal of Mathematics, vol. 9, p. 1179-1189 /

Насколько я понял из приведённой цитаты, имеется ввиду некий аналог закона больших чисел.

(Оффтоп)

Уважаемые форумчане, если у кого есть лёгкая возможность найти, скачать, и дать мне указанную статью в Pacific Journal, я был бы очень благодарен.

[Александрович]

longstreet в сообщении #509620 писал(а):

Александрович в сообщении #509618 писал(а):

Цитата:

Видно по дисперсии среднего значения и медианы.

Мне это видно только в каком-то конкретном случае (для конкретной выборки), но как показать это в общем случае?

Как посчитать дисперсию для любой квантили любого распределения: - Крамер. Математические методы статистики. 1976 г. стр. 404.
Для распределения Лапласа например, медиана по дисперсии в два раза эффективнее средней оценки. То есть выборка может быть в два раза меньше для достижения одинакового разброса оценки от центра распределения.
Для ограниченных распределений более эффективной оценкой оказывается центр размаха.

[longstreet]

Александрович, спасибо большое!

-- 29.11.2011, 15:28 --

А как узнать, какой вид распределения я имею в моём случае? Это теоретический вопрос или экспериментально проверяется?

[Александрович]

А какое у вас распределение?

[мат-ламер]

longstreet
В своих постах Вы задали парочку вопросов, по которым довольно много написано в специальной литературе. Но мне кажется, что эти вопросы имеют весьма опосредованное отношение к задаче, стоящей перед Вами. Может Вы сначала по-подробнее рассказали бы об этой задаче?

[venco]

Возьмём, например, случайную величину с распределением:
$-1$ с вероятностью $\frac 2 7$
$0$ с вероятностью $\frac 2 7$
$1$ с вероятностью $\frac 3 7$
Мода этого распредления равна $1$, медиана - $0$, а среднее арифметическое - $\frac 1 7$.