О приближении функций полиномами

[В.О.]

Пусть есть аналитическая на прямой функция F и полином Р степени N, равномерно приближающий эту функцию на отрезке [0,a] с точностью $\epsilon$.
Тогда этот же полином будет равномерно приближать эту же функцию с некоторой другой точностью $\delta$ на большем отрезке [0,b], $a\leqslant b$. Только приближение будет уже похуже.
Вопрос заключается в том, как $\delta$ зависит от $\epsilon$.

Если такую зависимость можно записать, то это утверждение имело бы отношение к процессу осознания в смысле Грея viewtopic.php?t=3900

[Someone]

Не думаю, что удастся что-нибудь такое записать. Рассмотрим, например, функцию $F(x)=\alpha e^{e^{e^{e^x}}}$ (число "этажей" можно произвольно увеличить), где $\alpha$ подобрано так, что $F(a)=1$. Какой бы ни был равномерно аппроксимирующий многочлен степени $N$ на $[0,a]$, его значения на $[0,a]$ по абсолютной величине не превосходят $1+\epsilon$, а тогда по известной теореме из теории многочленов Чебышёва его значения вне $[0,a]$ по абсолютной величине не превосходят $(1+\epsilon)T_N(\frac{2x}a-1)$. Мне кажется, что, увеличивая число "этажей" в фукции $F(x)$, её значение в заданной точке $b>a$ можно сделать произвольно большим.

[В.О.]

Похоже на то. Но я плохо сформулировал условие. В зависимость $\delta(epsilon)$ могут входить как параметры любые характеристики функции F. Т.е. можно считать, что F имеет ограниченную производную или что еще нужно.

Добавлено спустя 26 минут 46 секунд:

Собственно, тривиальный ответ теперь очевиден.
$\delta\leqslant e + (A+B)(b-a),$ где А - максимум модуля производной функции F, B - максимум модуля производной полинома на [0,b]
Но это оценка очень плохая. Она даже не стремится к 0 при стремлении к нулю $\epsilon$.

[В.О.]

Неужели нет таких теорем? Не может быть.

[Руст]

Даже для аналитической функции нельзя хорошо аппроксимировать полиномом на большем интервале, т.е. с помощью максимумов (по модулю) конечного числа производных в исходном интервале [0,a] и епсилона нельзя ограничить дельта.

[В.О.]

Почему Вы так решили? Из приведенного выше примера это не следует.
Но даже если так, то можно потребовать что-нибудь более сильное. Например, ограничить скорость роста к бесконечности максимума модуля n-ной производной при n стремится к бесконечности. Можно потребовать что угодно. Лишь бы получить хоть какое-нибудь положительное утверждение. Неужели нет подобных теорем хоть для каких классов функций и хоть для каких приближающих агрегатов?
Например, если приближать первыми n слагаемыми ряда Тейлора, то, вроде, все получается даже для не аналитических функций.

[Someone]

Рассмотрим функцию $F(x)=A^{-n}e^{A(x-a)}$, $A>1$, $a>0$. Для любого натурального $k\in[0,N]$ и $x\in[0,a]$ будет $0<F^{(k)}(x)\leqslant A^{k-n}\leqslant 1$. Приблизим $F(x)$ на отрезке $[0,a]$ многочленом $P_N(x)$ степени $N>0$ с погрешностью, меньшей $\varepsilon>0$. Тогда на отрезке $[0,a]$ будет $|P_N(x)|<A^{-n}+\varepsilon$, поэтому, по упоминавшейся прошлый раз теореме из теории многочленов Чебышёва, при $x>a$ будет выполняться неравенство $|P_N(x)|<(A^{-n}+\varepsilon)T_N(\frac{2x}a-1)$. Задав теперь какие угодно $b>a$ и $M>(A^{-n}+\varepsilon)T_N(\frac{2b}a-1)$, легко подобрать такое $A>1$, чтобы выполнялось неравенство $F(b)>M$, то есть, $e^{A(b-a)}>M\cdot A^n$. Поэтому, несмотря на то, что сама функция и её производные до порядка $n$ включительно ограничены на отрезке $[0,a]$ единицей, в точке $b>a$ разность между значениями функции и аппроксимирующего полинома может быть сколь угодно большой.

[В.О.]

В примере $$\left|F^{(k)} (x)\right| $$ неограниченно возрастает на [a,b] Поэтому пример неудачный. Кажется, можно получить положительное утверждение, примерно, такого вида. Если аналитическую функцию можно приблизить на $[0,a]$ полиномом со скоростью $r^{n}$, где r достаточно большое число, и если $\left| F-P_N\right|\leqslant \epsilon $ на $[0,a]$, где $\epsilon$ достаточно малое, то $P_N$ будет приближать $F$ и на $[a,b]$ со скоростью, стремящейся к нулю при $\epsilon$ стремитcя к $0$. Но, по прежнему, очень не хочется изобретать велосипед. Если здесь есть специалисты по теории приближений, откликнитесь, пожалуйста.

[Someone]

В.О. писал(а):

В примере $\left|F^{(k)}(x)\right|$ неограниченно возрастает на $[a,b]$ Поэтому пример неудачный.

Вам не угодишь. Сначала Вы говорили просто о приближении функции с заданной точностью. Потом - об ограниченной производной. Потом - об ограниченности скорости роста последовательности производных функции (в моём примере скорость роста ограничена геометрической прогрессией). Теперь - об аналитичности функции и равномерной ограниченности последовательности производных.

В.О. писал(а):

Если аналитическую функцию можно приблизить на $[0,a]$ полиномом со скоростью $r^n$, где $r$ достаточно большое число

В.О. писал(а):

$P_N$ будет приближать $F$ и на $[a,b]$ со скоростью, стремящейся к нулю при $\epsilon$ стремитcя к $0$

Поясните, пожалуйста, что Вы имеете в виду в обоих случаях.

P.S. Пожалуйста, не заключайте в тег Math весь текст. Лучше - каждю формулу отдельно, хотя это и немного более хлопотно.

[В.О.]

Someone писал(а):

Вам не угодишь.

Это точно. Я пока и сам толком не знаю, чего хочу. Но вот такое утверждение, кажется, доказать могу.
Пусть $F$ такова, что ее можно равномерно приблизить на $[0,b]$ полиномом степени n со скоростью $r^n$, $n\to \infty$ где $r\leqslant\frac {a} {be}$ и пусть $P_N$ последовательность полиномов, реализующая приближение с такой скоростью, но не на всем $[0,b]$, а только на отрезке $[0,a]$. Тогда $P_N$ будет приближать $F$ и на отрезке $[0,b]$ со скоростью стремящейся к нулю при N\to \infty$
В доказательстве много вычислений. Мог и ошибиться.


PS1 Смутно помню, что есть такой класс аналитических функций, которые можно равномерно приблизить на $[0,b]$ полиномом степени n со скоростью $r^n$, $n\to \infty$ при фиксированном r меньше 1. Но не помню даже как называется.
PS2 Не могли бы Вы дать ссылку на применявшуюся выше теорему о полиномах Чебышева. Если можно в интернете.