уравнение эллиптического типа

[barmale-y]

Где поискать фундаментальные решения уравнения
{\partial}/{\partial x} \left( K(x,y) {\partial}/{\partial x} ( \varphi(x,y) ) \right)+ {\partial}/{\partial y} \left( K(x,y) {\partial}/{\partial y} ( \varphi(x,y) ) \right)=0
когда К моделируется, например, линейным законом
K=a x + b, \quad a,b=const
или алгебраическим
K=a_0+a_1 x + a_2 x^2+ ..., \quad a_i=const
или еще чем нибуть.

Интересуют точные решения, может их какой-то общий вид, численные и приближенные методики. С уравенениями Лапласа и Гемгольца разобрался :-)

[Gafield]

Да оно вроде гипербрлическое. Там, где не вырождено.

[barmale-y]

Gafield писал(а):

Да оно вроде гипербрлическое. Там, где не вырождено.

его можно переписать так
div (K grad \varphi) =0

в математической энциклопедии, том 3, страница 606 его называют эллиптическим. А параболическое содержит производную по времени t.

Но, меня интересует литература в которой можно найти фундаментальные решения этого уравнения для какого-то конкретного вида K, кроме случаяуравнений Лапласа и Гемгольца. Путь K удовлетворяет каким-то условиям и уравнение остается эллиптическим.

[Gafield]

Цитата:

в математической энциклопедии, том 3, страница 606 его называют эллиптическим.

После исправления да.

Если все коэффициенты в эллиптическом уравнении

$$ a_{ij}\partial_{ij}u+b_{i}\partial_{i}u+cu=0$$

постоянны, то можно. Для хоть какого-нибудь переменного $K(x,y)$ сомнительно. Если поделить это уравнение на некий множитель, то получится оператор Лапласа для некоторой метрики. Локально, если $K$ гладкая, в двумерном случае его всегда можно привести к уравнению Лапласа (конформные координаты). Однако глобально вряд ли. Для упомянутых примеров наверняка. Для начала здесь надо потребовать, чтобы $K$ было везде больше нуля.

[barmale-y]

Gafield писал(а):

После исправления да.
... :)

Спасибо.

Наткнулся [Голубева О.В. Курс механики сплошных сред]. Фундаментальное решение для уравнения Гельмгольца представимо в виде F={\Phi(r_{MM_0})}/{\sqrt{K(M)K(M_0)}}, при этом \sqrt{K} удовлетворяет уравению Гельмгольца, M_0 - точка наблюдения, M - особая точка. Не видели где нибуть обобщения, что в общем случае для K>0, гладкой + еще что-то F={H(r_{MM_0})}/\sqrt{K(M)K(M_0)} - фундаментальное решение, где H зависит от r_{MM_0} и представляет решение более простого уравнения \Delta H = H f(M_0)?

[shwedka]

barmale-y в сообщении #155836 писал(а):

когда К моделируется, например, линейным законом
K=a x + b, \quad a,b=const
или алгебраическим
K=a_0+a_1 x + a_2 x^2+ ..., \quad a_i=const

Очень просто можно заменой переменной и функции сделать в главной части постоянные коэффициенты, и при первых производных тоже, а в самом младшем члене-как получится.
После этого, главная часть фундаментального решения - как у Лапласа, и уравнение можно, используя его, решать итерациями.
Преобразование найдите в любом учебнике по УЧП

[Gafield]

barmale-y писал(а):

Наткнулся [Голубева О.В. Курс механики сплошных сред]. Фундаментальное решение для уравнения Гельмгольца представимо в виде F={\Phi(r_{MM_0})}/{\sqrt{K(M)K(M_0)}}, при этом \sqrt{K} удовлетворяет уравению Гельмгольца, M_0 - точка наблюдения, M - особая точка. Не видели где нибуть обобщения, что в общем случае для K>0, гладкой + еще что-то F={H(r_{MM_0})}/\sqrt{K(M)K(M_0)} - фундаментальное решение, где H зависит от r_{MM_0} и представляет решение более простого уравнения \Delta H = H f(M_0)?

А о каком именно уравнении идет речь, Гельмгольца с переменным коэффициентом? Можно его привести? С постоянным известна явная формула: в нечетной размерности через экспоненту, в четной через функции Бесселя.

[zoo]

что самое прикольное на этом форуме, ак это общая манера обсуждать урчп ни слова не оговорившись о краевых условиях

[babenko]

barmale-y в сообщении #155836 писал(а):

Где поискать фундаментальные решения уравнения
{\partial}/{\partial x} \left( K(x,y) {\partial}/{\partial x} ( \varphi(x,y) ) \right)+ {\partial}/{\partial y} \left( K(x,y) {\partial}/{\partial y} ( \varphi(x,y) ) \right)=0
Интересуют точные решения, может их какой-то общий вид, численные и приближенные методики. С уравенениями Лапласа и Гемгольца разобрался

Это уравнение описывает прямую задачу электроимпедансной томографии. Для случая переменного K() фундаментального решения либо нет, либо оно сложно вычислимо.

Но может быть кто-то лучше осведомлён (тема ведь довольно старенькая), буду тоже благодарна за информацию.