Задача по общей топологии.

[3.14]

Здравствуйте..Вот что-то не получается доказать вот такой факт(хотя вроде легко,но сообразить не могу):
Пусть $\mathbf{A}$ - открытое подмножество $\mathbb{R}^n$ и оно линейно связно.Показать, что любые две точки $\mathbf{A}$ можно соединить ломаной, состоящей из конечного числа отрезков, целиком лежащей в $\mathbf{A}$.
Вот я попробовал : Так как $\mathbf{A}$ линейно связно, то, по определению, для $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{A} \exists $ непрерывная кривая $\gamma : [0,1] \to \mathbf{A}$ такое, что $\gamma(0) = x_1, \gamma(1) = x_2$. Так как $\mathbf{A}$ - открытое подмножество $\mathbb{R}^n$ и $\gamma \subset \mathbf{A}$, то $\forall$ точка на кривой входит в $\mathbf{A}$ со своей маленькой окрестностью. Тогда кривая лежит в конечном объединении таких окрестностей(шаров с центром в данной точке и радиусом $R$).Пусть таких окрестностей $n + 2$ с центрами - $x_1, y_1, ... , y_n, x_2$. Теперь просто соединим данные точки отрезками. Получаем ломаную, которая проходит через $x_1, x_2$ и лежит в $\mathbf{A}$. Вот только есть одно(а может и не одно) "но". Будет ли наш отрезок , которым я соединяю центры, лежать в $\mathbf{A}$, т е лежит ли отрезок в объединении двух соседних окрестностей.

[Someone]

3.14 в сообщении #509300 писал(а):

лежит ли отрезок в объединении двух соседних окрестностей.

Отрезок, соединяющий центры двух пересекающихся шаров в евклидовом пространстве, лежит в их объединении.

Или Вы можете ввести промежуточные точки, взяв их из пересечений "соседних" шаров.

[3.14]

спасибо..