2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по общей топологии.
Сообщение28.11.2011, 20:13 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуйте..Вот что-то не получается доказать вот такой факт(хотя вроде легко,но сообразить не могу):
Пусть $\mathbf{A}$ - открытое подмножество $\mathbb{R}^n$ и оно линейно связно.Показать, что любые две точки $\mathbf{A}$ можно соединить ломаной, состоящей из конечного числа отрезков, целиком лежащей в $\mathbf{A}$.
Вот я попробовал : Так как $\mathbf{A}$ линейно связно, то, по определению, для $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{A}  \exists $ непрерывная кривая $\gamma : [0,1] \to \mathbf{A}$ такое, что $\gamma(0) = x_1, \gamma(1) = x_2$. Так как $\mathbf{A}$ - открытое подмножество $\mathbb{R}^n$ и $\gamma \subset \mathbf{A}$, то $\forall$ точка на кривой входит в $\mathbf{A}$ со своей маленькой окрестностью. Тогда кривая лежит в конечном объединении таких окрестностей(шаров с центром в данной точке и радиусом $R$).Пусть таких окрестностей $n + 2$ с центрами - $x_1, y_1, ... , y_n, x_2$. Теперь просто соединим данные точки отрезками. Получаем ломаную, которая проходит через $x_1, x_2$ и лежит в $\mathbf{A}$. Вот только есть одно(а может и не одно) "но". Будет ли наш отрезок , которым я соединяю центры, лежать в $\mathbf{A}$, т е лежит ли отрезок в объединении двух соседних окрестностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по общей топологии.
Сообщение28.11.2011, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
3.14 в сообщении #509300 писал(а):
лежит ли отрезок в объединении двух соседних окрестностей.
Отрезок, соединяющий центры двух пересекающихся шаров в евклидовом пространстве, лежит в их объединении.

Или Вы можете ввести промежуточные точки, взяв их из пересечений "соседних" шаров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по общей топологии.
Сообщение28.11.2011, 21:11 


26/08/09
197
Асгард
спасибо..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group