Цепочки простых чисел

[vorvalm]

По ссылке Someone приводится обзорная статья, в которой популярно излагаются основы арифметических прогрессий и распределение простых чисел в них. Но ни слова не сказано о Дирихле. Упоминаются Харди и Литлвуд, которые в 1922г. теоретически доказали существование арифметических прогрессий среди простых чисел с неограниченным числом членов, а Грин и Тау в 2004г. нашли практически такие прогрессии. Это похоже на астрономов. Одни вычисляют неизвестные планеты, другие находят их.
Но что значит неограниченное число членов прогрессии?
В приведенных примерах это не превосходит числа 25, но простые числа при этом астрономические и проверить их подлинность не представляется возможным. Но поверим на слово.
В статье не рассматривается механизм образования таких прогрессий, хотя он лежит на поверхности.
Совершенно очевидно, что число членов таких прогрессий зависит от разности прогрессии. Чем больше разность, тем длиннее прогрессия.Но не простая разность , а кратная праймориалу $p\#$.
В приведенных примерах эта разность в одном случае равна $d=210=7\#$, в другом $d=366384\cdot23\#$.
С помощью ПСВ этот механизм легко раскрывается.

Хорхе, один из примеров ответ на ваш вопрос.

[Батороев]

vorvalm в сообщении #508832 писал(а):

Батороев
А вы гарантируете, что $a_2=p+d$ - простое.

Я писал про "Фому"... Я писал лишь про ограничение по числу членов арифметических прогрессий из простых. Рассматривать только такие прогрессии - это была уже Ваша инициатива.

-- 28 ноя 2011 17:25 --

vorvalm в сообщении #509088 писал(а):

Совершенно очевидно, что число членов таких прогрессий зависит от разности прогрессии. Чем больше разность, тем длиннее прогрессия. Но не простая разность , а кратная праймориалу $p\#$.

Используя свои утверждения, найдите "длинную прогорессию", начинающуюся с простого $3$.

[Хорхе]

vorvalm в сообщении #509088 писал(а):

Хорхе, один из примеров ответ на ваш вопрос.

Не вижу ни примера, ни ответа.

[vorvalm]

Батороев
Не надо ёрничать. Ваша оценка сверху, это все равно, что на вопрос:
"Сколько км. от Москвы до Омска", ответить:" Не знаю, но меньше, чем до Владивостока"
Если мы не знаем, что представляют из себя члены прогрессии, тогда в чем "базар".
Самая "длинная" цепочка с $p=3$: $3, 5, 7$.
Здесь праймориал $2\#$.

Хорхе
Ответ в ссылке Semeone. Пример, где $d=210=7\#$.

[Батороев]

vorvalm в сообщении #509255 писал(а):

Батороев
Не надо ёрничать. Ваша оценка сверху, это все равно, что на вопрос:
"Сколько км. от Москвы до Омска", ответить:" Не знаю, но меньше, чем до Владивостока"
Если мы не знаем, что представляют из себя члены прогрессии, тогда в чем "базар".
Самая "длинная" цепочка с $p=3$: $3, 5, 7$.
Здесь праймориал $2\#$.

Оценка сверху дополнительно несет информацию и о том, что на длину рассматриваемых прогрессий влияет не только разность $d$, но и первый член. Т.е. длинной прогрессии с малыми $a_1$ быть не может. Переиначивая Ваше сравнение, можно утверждать, что "на маленькой машине от Москвы до Омска не доехать".

Разность $d$ для длинных прогрессий не обязательно должна быть примориалом.
Например, $3;17;31$.

[vorvalm]

Батороев
$d=14=7\cdot 2\#$

[Хорхе]

vorvalm в сообщении #509255 писал(а):

Хорхе
Ответ в ссылке Semeone. Пример, где $d=210=7\#$.

Ну ладно, найдите из одиннадцати.

(Оффтоп)

Semeone -- Семён? Симеон?

[vorvalm]

Хорхе
В цепочке простых чисел с разностью $d=210$ число членов
не может быть больше 10.

[Хорхе]

Я же не говорил про разность $210$.

[vorvalm]

Хорхе
Если вас интересуют цепочки простых чисел в конкретных числах,
то загляните на web страничку "The Prime Pages:Tony Forbes."

[vorvalm]

Батороев
А желтая "Калина" доедет до Омска?

[vorvalm]

Простые числа, составляющие арифметические прогрессии с разностью $d=Kp_i\#$, где $p_{i+1} \not{\mid}K$, образуют ПСВ (приведенную систему вычетов) по модулю $p_{i+1}$.
Отсюда, максимальное число таких чисел (вычетов) равно
$N(a)=\varphi(p_{i+1})=p_{i+1}-1$,
что в свою очередь зависит от разности $d$, точнее от праймориала $p_i\#$.
Но если первый член прогрессии $a_1=p_{i+1}$, то число членов прогрессии увеличивается на 1.
Например. $d=3\#=6, a_1=p_{i+1}=5$
$(5,...11,...17,...23,...29)$

Число членов прогрессии конечно, но мы не ограничены в выборе разности $d$, следовательно, не ограничены и числом членов таких прогрессий.
Что касается первого члена таких прогрессий $a_1$, то здесь также есть ограничения.
Если рассматривать цепочки с последовательными простыми числами, то $a_{1(\min)}$ ограничивается снизу гипотезой Лежандра, т.е. $a_{1(\min)}>d^2$.
Если же цепочки из непоследовательных простых чисел, то $a_{1(\min)}$ может быть и меньше $d$.
Например.
$d=30, (7,...37,...67,...97,...127,...157)$
$d=210, (199,...409,...........1879,...2089)$
Прогрессия с $d=210$ и последовательными простыми числами начинается с 93-хзначного числа (ссылка Semeone).
Бросается в глаза огромная пропасть между последовательными и непоследовательными прогрессиями простых чисел с одной и той же разностью.

Этот же результат можно получить с помощью теоретических основ распределения вычетов ПСВ
(см.тему "Бесконечность простых чисел-близнецов).
Так как простые числа в интервале $1 < p <p^2_{r+1}$ являются вычетами ПСВ, то цепочки простых чисел можно рассматривать как группы вычетов ПСВ по модулю $M(p_r)$ с разностью между вычетами $d=M(p_i)=p_i\#<M(p_r)$
и числом вычетов в группе $n=p_{i+1}-1$.
Если из всех членов прогрессии вычесть первый $a_1$, то получим приведенную группу вычетов n- го размера.
$Q[n]=(0, p_i\#, 2p_i\#, 3p_i\#,..........(p_i-2)p_i\#)$
Очевидно, что по всем модулям $p_i$ проходимость $K(p_i)>0$.
По модулю $p_{i+1}$ проходимость $K(p_{i+1})=p_{i+1}+m(p_{i+1})-n.$
Среди вычетов группы нет сранимых по модулю $p_{i+1}$ и $m(p_{i+1})=0.$
Следовательно, $K(p_{i+1})=p_{i+1}+0-(p_{i+1}-1)=1.$
Группа проходит в ПСВ по любому модулю.
Если же мы увеличим размер группы до $n=p_{i+1}$ , то $K(p_{i+1})=0.$
Такой группы нет в ПСВ, следовательно, и среди простых чисел.

[vorvalm]

Someone
Я извиняюсь за опечатки в никах.

[bot]

(Оффтоп)

vorvalm, Ваш ник я не набирал - просто ткнул в него левой клавишей мыши и он сам нарисовался.

[Mathusic]

Хорхе в сообщении #509413 писал(а):

Ну ладно, найдите из одиннадцати.

Если не ошибаюсь, то помнится более длинные прогрессии даже искались из простых в теме "Магические квадраты".
Если это представляет интерес, то попробую порыться на старом винте в поисках таких прогрессий...