Простые числа, составляющие арифметические прогрессии с разностью

, где

, образуют ПСВ (приведенную систему вычетов) по модулю

.
Отсюда, максимальное число таких чисел (вычетов) равно

,
что в свою очередь зависит от разности

, точнее от праймориала

.
Но если первый член прогрессии

, то число членов прогрессии увеличивается на 1.
Например.

Число членов прогрессии конечно, но мы не ограничены в выборе разности

, следовательно, не ограничены и числом членов таких прогрессий.
Что касается первого члена таких прогрессий

, то здесь также есть ограничения.
Если рассматривать цепочки с последовательными простыми числами, то

ограничивается снизу гипотезой Лежандра, т.е.

.
Если же цепочки из непоследовательных простых чисел, то

может быть и меньше

.
Например.

Прогрессия с

и последовательными простыми числами начинается с 93-хзначного числа (ссылка
Semeone).
Бросается в глаза огромная пропасть между последовательными и непоследовательными прогрессиями простых чисел с одной и той же разностью.
Этот же результат можно получить с помощью теоретических основ распределения вычетов ПСВ
(см.тему "Бесконечность простых чисел-близнецов).
Так как простые числа в интервале

являются вычетами ПСВ, то цепочки простых чисел можно рассматривать как группы вычетов ПСВ по модулю

с разностью между вычетами
и числом вычетов в группе

.
Если из всех членов прогрессии вычесть первый

, то получим приведенную группу вычетов n- го размера.
![$Q[n]=(0, p_i\#, 2p_i\#, 3p_i\#,..........(p_i-2)p_i\#)$ $Q[n]=(0, p_i\#, 2p_i\#, 3p_i\#,..........(p_i-2)p_i\#)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/8/d7861cae637401090d939e16ea3ce42e82.png)
Очевидно, что по всем модулям

проходимость

.
По модулю

проходимость

Среди вычетов группы нет сранимых по модулю

и

Следовательно,

Группа проходит в ПСВ по любому модулю.
Если же мы увеличим размер группы до

, то

Такой группы нет в ПСВ, следовательно, и среди простых чисел.