Отношение суммы к произведению

[xmaister]

Пусть $n$ нечётное натуральное и $\theta$- действительное число, такое что $\frac{\theta}{\pi}$- иррациональное. Положим, что $a_k=\tg \left(\theta +\frac{\pi k}{n}\right)$. Как доказать, что $\dfrac{a_1+a_2+\ldots + a_n}{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}$- целое и вычислить его значение?

[ИСН]

Определённо пахнет какими-то комплексными приколами с корнями из единицы.

[nnosipov]

По-моему, вычеты надо брать. Это не упражнение по ТФКП?

[xmaister]

Когда заменил $\tg\left(\theta+\frac{\pi k}{n}\right)=\frac1{i}\frac{e^{2i\left(\theta+\frac{\pi k}{n}\right)}-1}{e^{2i\left(\theta+\frac{\pi k}{n}\right)}+1}$ получились слишком жёсткие преобразования, может их надо как-нибудь по другому преобразовать надо, если да , то как?

nnosipov в сообщении #508857 писал(а):

Это не упражнение по ТФКП?

Может быть. Это Putnam 2006.

[Sonic86]

Можно попытаться от вычислить так, но не факт, что получится:
Числитель: найти формулу для суммы тангенсов арифметической прогрессии аналогично выводу формулы суммы синусов арифметической прогрессии (где-то в Фаддееве видел, но там надо знать какой-то специальный прием)
Знаменатель: тангенсы представить в виде косинусов и синусов, вычислить произведение синусов и произведение косинусов по аналогии с формулой $\prod\limits_{k=1}^n \sin \left( x - \frac{2 \pi k}{n} \right) = A_k \sin (nx)$.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #508909 писал(а):

Числитель: найти формулу для суммы тангенсов арифметической прогрессии аналогично выводу формулы суммы синусов арифметической прогрессии (где-то в Фаддееве видел, но там надо знать какой-то специальный прием)

Это как раз стандартные штуки, суммы типа $\sum_{k=0}^{n-1} R(\zeta^k)$, где $R(z)$ --- мероморфная функция, а $\zeta^n=1$, вычисляются при помощи вычетов.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #508916 писал(а):

Это как раз стандартные штуки, суммы типа $\sum_{k=0}^{n-1} R(\zeta^k)$, где $R(z)$ --- мероморфная функция, а $\zeta^n=1$, вычисляются при помощи вычетов.

Я просто такие вещи считать не тренировался почти, а вообще было бы классно вычислить таким приемом.
Т.е. числитель - это $\frac{1}{2 \pi i}\oint\limits_{|z|=r>1} \frac{n \tg(\theta + z)}{z^n-1} dz$? ... Нет, не получается

[nnosipov]

Sonic86, нет, там надо брать вычеты от рациональной функции. Завтра напишу подробней, сейчас у нас уже поздно.

[xmaister]

Произведение синусов получается $-\frac{\sin(n\theta)}{2^{n-1}}$, но как из этотго можно выйти на замкнутую форму этого отношения?

[svv]

Если при почти произвольном вещественном $\theta$ результат получается целым, значит, результат не зависит от $\theta$ (по крайней мере, локально). Нельзя ли доказать это и потом взять какое-нибудь удобное значение $\theta$ ?

[xmaister]

svv
Скорее всего да, результат от $\theta$ не зависит. Я посчитал первые несколько значений, наверное должно получится типа $\left|\dfrac{a_1+a_2+\ldots + a_n}{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\right|=n$

[RIP]

Задача на формулу

$$\tg nx=\dfrac{\binom n1\tg x-\binom n3\tg^3x+\ldots+(-1)^{\frac{n-1}2}\binom nn\tg^nx}{\binom n0-\binom n2\tg^2x+\ldots+(-1)^{\frac{n-1}2}\binom n{n-1}\tg^{n-1}x}.$$

Получаем, что $a_k$ — корни многочлена

$$\binom n1x-\binom n3x^3+\ldots+(-1)^{\frac{n-1}2}\binom nnx^n-\tg n\theta\cdot\left(\binom n0-\binom n2x^2+\ldots+(-1)^{\frac{n-1}2}\binom n{n-1}x^{n-1}\right).$$

Теорема Виета даёт $a_1+\ldots+a_n=n\tg n\theta$, $a_1\cdot\ldots\cdot a_n=(-1)^{\frac{n-1}2}\tg n\theta$.

(аналогичная задача)

здесь

[nnosipov]

Для вычисления сумм типа $\sum_{j=1}^n \tg{(\theta+\pi j/n)}$ можно использовать следующее утверждение. Пусть $\zeta=\exp{(2\pi i/n)}$ и $R(z)$ --- рациональная функция, множество полюсов $z_s$ которой не содержит чисел $\zeta^j$, $1 \leqslant j \leqslant n$. Тогда

$$ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} R(\zeta^j)= \sum_{z_s \neq 0} \mathrm{res}_{z=z_s}{F(z)}+\mathrm{res}_{z=0}{F(z)}+\mathrm{res}_{z=\infty}{F(z)}, \quad F(z)=\frac{R(z)}{z(1-z^n)}. $$

В нашем случае имеем

$$ R(z)=\frac{1}{i} \cdot \frac{az-1}{az+1}, \quad a=\exp{(2\theta i)}. $$

Вычеты вычисляются легко (не забываем, что $n$ нечётно):

$$ \mathrm{res}_{z=-1/a}{F(z)}=\frac{1}{i} \cdot \frac{2a^n}{a^n+1}, \quad \mathrm{res}_{z=0}{F(z)}=-\frac{1}{i}, \quad \mathrm{res}_{z=\infty}{F(z)}=0. $$

Отсюда и находим

$$ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \tg{(\theta+\pi j/n)}=\frac{1}{i} \cdot \frac{a^n-1}{a^n+1}=\tg{(n\theta)}. $$