Неравенство с параметрами

[Keter]

Подскажите, как решать неравенства такого типа:

найдите все значения параметра $a$, при которых для любого значения параметра $b$, неравенство

$(a+b)x^2+(3b-4a+7)x+4a-2b+6 \geqslant 0$

имеет хотя бы одно решение.

Ответ для проверки: $a \geqslant 1$

[ИСН]

Понятия не имею, но я бы попробовал для начала решить в обычном смысле (ну, относительно x).

[Keter]

Пробовал. Вот, что получается:

$D = (3b-4a+7)^2-4(a+b)(4a-2b-6) = 17b^2-32ab+66b-32a+49$

[kiyanyn]

ИСН в сообщении #508090 писал(а):

Понятия не имею, но я бы попробовал для начала решить в обычном смысле (ну, относительно x).

Скорее так - понятно, что если $a+b \ge 0$, то решение есть всегда. Хотя нет, надо посмотреть, что там при этом при $x$, и если нуль, то надо смотреть на свободный член...
Если же $a+b < 0$, надо поискать экстремум, и значение в экстремуме должно быть не менее нуля (не забывая об условии на $a+b$.

Ну, а потом посмотреть, что получится, если собрать все вместе... Нет?

[ИСН]

Это я видел, но никакое значение a не гарантирует, что при любых b у нас будет a+b>0.

[Keter]

Похоже так: решения у нас будут всегда в любом случае, когда $(a+b) \geqslant (3b-4a+7)+(4a-2b-6)$

Решая неравенство получим $a \geqslant 1$

[kiyanyn]

ИСН в сообщении #508111 писал(а):

Это я видел, но никакое значение a не гарантирует, что при любых b у нас будет a+b>0.

Да, но... Честно говоря, может, где-то зашился с числами, может, какой-то вариант не учел... у меня получилось $a\le 2.87...$ - примерно так, как я говорил. При условии на экстремум получается условие на a и b, каковое условие должно выполняться при $b < -a$ (потому что иначе все и так получается - я проверил и случай $a+b=0$ :)

Но вот чтобы выполнялось сложное неравенство с a и b при $b < -a$, получаем по сути условие на a...

Честно говоря, уже поздновато для таких больших чисел :), но сам принцип, как мне кажется, должен сработать. Да, никакое a не гарантирует $a+b>0$, но это и не надо - надо, чтобы когда $a+b<0$, выполнялось некоторое другое условие.

-- 25.11.2011, 23:06 --

Keter в сообщении #508082 писал(а):

Подскажите, как решать неравенства такого типа:

$(a+b)x^2+(3b-4a+7)x+4a-2b+6 \geqslant 0$

Так все же, наверное, 4a-2b-6?! Тогда мой метод, кажется, работает...

[Полосин]

Уточните условие. Излагаемый ниже метод будет работать, по-видимому, в любом случае, но в данном - все не так уж сложно.
$(a+b)x^2+(3b-4a+7)x+4a-2b-6\ge0$.
Обозначим $c=a+b$, $d=a-1$, тогда
$cx^2+(3c-7d)x+6d-2c\ge0$.
Если $c=0$, то при $d\ne0$ неравенство всегда имеет решения, а при $d=0$ оно выполнено, поэтому в данном случае годятся любые $d$.
Если $c>0$, то, очевидно, неравенство всегда имеет решения.
Если $c<0$, то неравенство имеет решения только при $D=17c^2-66cd+49d^2\ge0$. Если $d\ge0$, то это неравенство, очевидно, справедливо при любых отрицательных $c$. Если же $d<0$, то $minD(c)<0$, поэтому такие $d$ не подходят.
Окончательно, $d\ge0$.

[freedom_of_heart]

Полосин в сообщении #508154 писал(а):

$(a+b)x^2+(3b-4a+7)x+4a-2b-6\ge0$.
Обозначим $c=a+b$, $d=a-1$, тогда

А как вы догадались такую замену сделать? Это замена -- понятно зачем $c=a+b$
А как до этой можно было догадаться?! $d=a-1$

[Keter]

Это опыт. При чем тут догадаться?! Сказала как отрезала))