Корреляция

[freedom_of_heart]

1) $X_1$ и $X_2$ - независимые случайные величины

$X=3X_1+X_2+1$

$Y=2X_1+7X_2

Найти коэффициент корреляции $\rho(X,Y)=?$

Тут нужно в лоб действовать или есть способ проще?

(попытка в лоб)

$EX=3EX_1+EX_2+1$

$EY=2EX_1+7EX_2$

$\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY$

$$E(XY)=E[(3X_1+X_2+1)(2X_1+7X_2)]=E(6X_1^2+7X_2^2+23X_1X_2+2X_1+7X_2)=$$

$$=6EX_1^2+7EX_2^2+2EX_1+7EX_2$$

$$EX\cdot EY=(2EX_1+7EX_2)(3EX_1+EX_2+1)=6(EX_1)^2+7(E_2X)^2+23EX_1\cdot EX_2+2EX_1+7EX_2$$

$$\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY=DX+DY-23EX_1\cdot EX_2$$

$DX=EX^2-(EX)^2=...$

$\rho=\dfrac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{DX\cdot DY}}$

2) $X\sim N(0;1)$

$Y=\operatorname{sign} X$

Найти коэффициент корреляции $\rho(X,Y)=?$

Пусть $C=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$

Получается, что

$f(x)=C\cdot e^{ -\frac{x^2}{2} },$

$f(y=\operatorname{sign} x)=C\cdot e^{ -\frac{(\operatorname{sign}x)^2}{2} },=\begin{cases} \ \ Ce^{-1}, & x > 0 \\ \ \ C, & x = 0 \\ Ce, & x < 0 \end{cases}$

Правильно ли написана плотность для $f(y)$?

[ИСН]

Первое так и делать, только проверять себя на каждой стадии. Например: Вы, кажется, полагаете, что $E(X_1X_2)$ с чего-то (с независимости?) равно нулю. Проверим. Пусть $X_1$ - вырожденная случайная величина, которая тупо всегда равна 5. А $X_2$ - тоже вырожденная случайная величина, которая совершенно независимо от неё всегда равна 6. Тогда их произведение равно чему?

Второе - запись $f(y)$ кагбе намекает, что дальше должна стоять некая функция от y, но я таковой там не вижу.

[freedom_of_heart]

Я думала, что $E(X_1X_2)=0$, Если $X_1$ и $X_2$ -- независимые, оказывается не так.

$5\cdot 6=30$

То есть там и остается так слагаемое $E(X_1X_2)$?

[ИСН]

Остаётся по крайней мере до тех пор, пока Вы не вспомните, что же на самом деле равно нулю у независимых величин.

[freedom_of_heart]

2) $y=\operatorname{sgn} x = \begin{cases} \ \ 1, & x > 0 \\ \ \ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$

А я не знаю -- как записать $f(y)$, потому что не могу выразить $x=\text{функция}(y)$

-- Пт ноя 25, 2011 23:07:31 --

Случайные величины $X$ и $Y$ -- независимы, если

$f(x,y)=f(x)\cdot f(y)$ (плотности)

Или $F(x,y)=F(x)\cdot F(y)$

[ИСН]

1) Спасибо, это всё верно, но не о том. Каковы свойства независимых величин? Откуда Вы взяли, что матожидание их произведения равно нулю? Ведь не с потолка же? Ведь что-то там действительно равно нулю? Что?
2) А зачем выражать x как функцию от y, и что бы Вы делали, будь это возможно?

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #508086 писал(а):

1) Спасибо, это всё верно, но не о том. Каковы свойства независимых величин? Откуда Вы взяли, что матожидание их произведения равно нулю? Ведь не с потолка же? Ведь что-то там действительно равно нулю? Что?

Еще корреляция и ковариация равны нулю

-- Пт ноя 25, 2011 23:59:15 --

ИСН в сообщении #508086 писал(а):

2) А зачем выражать x как функцию от y, и что бы Вы делали, будь это возможно?

Вот так

Если $y(x)=e^x$, то $x(y)=\ln y$

А потом можно подставлять в плотность...

-- Сб ноя 26, 2011 00:03:00 --

А можно ли пойти таким путем во втором, может ли он привести к успеху?

$Y=\operatorname{sign} X$

$\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{cov}(X,\operatorname{sign} X)=E(X\cdot \operatorname{sign} X)-EX\cdot E(\operatorname{sign} X)=...$

[ИСН]

1) Что значит это "ещё"? Там есть ещё кто-то кроме них?
2) А, ну это да, можно. Получилась бы плотность Y. А зачем она Вам, когда Y однозначно выражается через X?

-- Сб, 2011-11-26, 00:04 --

(про 2) Вот-вот. Так и надо.

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #508104 писал(а):

1) Что значит это "ещё"? Там есть ещё кто-то кроме них?

Нет, нету больше.
Дело в том , что $\operatorname{cov}(X_1,Y_2)=0$, а
$\operatorname{cov}(X,Y)\ne 0$, там какая-то большая конструкция...Так видимо и должно быть или там реально что-то сократить?

[ИСН]

Ну вот. Выражайтесь точнее. Ковариация их, значит... Теперь, запомнив это, преобразуем там всё дальше. Если она где-то всплывёт, будем знать, что её можно занулить.

[freedom_of_heart]

Занулилось!!! Исправленный вариант!

$EX=3EX_1+EX_2+1$

$EY=2EX_1+7EX_2$

$\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY$

$$E(XY)=E[(3X_1+X_2+1)(2X_1+7X_2)]=E(6X_1^2+7X_2^2+23X_1X_2+2X_1+7X_2)=$$

$$=6EX_1^2+7EX_2^2+23E(X_1\cdot X_2)+2EX_1+7EX_2$$

$$EX\cdot EY=(2EX_1+7EX_2)(3EX_1+EX_2+1)=6(EX_1)^2+7(E_2X)^2+23EX_1\cdot EX_2+2EX_1+7EX_2$$

$$\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY=DX+DY$$

-- Сб ноя 26, 2011 00:18:28 --

$\rho=\dfrac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{DX\cdot DY}}=\dfrac{DX+ DY}{\sqrt{DX\cdot DY}}=\sqrt{\dfrac{DX}{DY}}+\sqrt\dfrac{DY}{DX}$

-- Сб ноя 26, 2011 00:23:10 --

$DX=D(3X_1+X_2+1)=\frac{1}{9}DX_1+DX_2$

$DY=D(2X_1+7X_2)=\frac{1}{4}DX_1+\frac{1}{49}DX_2$

Вроде как все, больше нам ничего не дано... Правильно?!

-- Сб ноя 26, 2011 00:26:56 --

2) Про второе:

$\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{cov}(X,\operatorname{sign} X)=E(X\cdot \operatorname{sign} X)-EX\cdot E(\operatorname{sign} X)$

$EX=0$ $DX=1$ (так ка распределение стандартное нормальное.

Не понятно -- как считать

$D(\operatorname{sign} X)$ и $E(X\cdot \operatorname{sign} X)$

Нужно через интегралы записывать?

[ИСН]

freedom_of_heart в сообщении #508116 писал(а):

$$\operatorname{cov}(X,Y)=...=DX+DY$$

совершенно не понял, откуда взялось вот это место, и всё, что после него.

-- Сб, 2011-11-26, 00:30 --

2 - ну да, там по крайней мере один интеграл записать придётся.

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #508124 писал(а):

совершенно не понял, откуда взялось вот это место, и всё, что после него.

$23E(X_1\cdot X_2)-23EX_1\cdot EX_2=23\operatorname{cov}(X_1,Y_1)=0$

-- Сб ноя 26, 2011 00:40:21 --

Пока что второе я в оффтоп буду запихивать, чтобы не путать с первым примером, хорошо?

(Оффтоп)

$D(\operatorname{sign} X)= E(\operatorname{sign} X)^2-E(\operatorname{sign} X)$

$E(\operatorname{sign} X)=E(Y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}yf(y)dy$

Теперь нам нужно знать плотность $f(y)$

Как же ее найти?!

[ИСН]

freedom_of_heart в сообщении #508126 писал(а):

$23E(X_1\cdot X_2)-23EX_1\cdot EX_2=23\operatorname{cov}(X_1,Y_1)=0$

Это безусловно так, а вот дальше я не понял.

[freedom_of_heart]

Да, коэффициенты забыла, сейчас исправлю!

-- Сб ноя 26, 2011 01:14:51 --

$$\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY=6DX+7DY$$

-- Сб ноя 26, 2011 01:19:36 --

$\rho=\dfrac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{DX\cdot DY}}=\dfrac{6DX+ 7DY}{\sqrt{DX\cdot DY}}=6\cdot\sqrt{\dfrac{DX}{DY}}+7\cdot \sqrt\dfrac{DY}{DX}$

$DX=D(3X_1+X_2+1)=\frac{1}{9}DX_1+DX_2$

$DY=D(2X_1+7X_2)=\frac{1}{4}DX_1+\frac{1}{49}DX_2$

По-моему все-равно ничего не упростится, если подставить выражения для дисперсий в формулу для корреляции...Или упростится?