Инволюция плоскости

[scwec]

Докажите, что непрерывная(может и гладкая) инволюция плоскости имеет неподвижную точкую

[Хорхе]

Непрерывности достаточно: если неподвижной точки нет, то $f(x)>x$ для всех $x$ или $f(x)<x$ для всех $x$.

[scwec]

Это через чур. Тут уж Вы совсем.

[Хорхе]

Да, я c перепугу упустил из виду слово "плоскости" :)

[scwec]

Странно, любителей топологии ставит в тупик элементарный вопрос. Не ожидал.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Любителей топологии ставит в тупик любовь к пиву, точнее, любимое пиво ставит в тупик их мозги. Впрочем, я кое-что придумал по старой теме, кажется.

[scwec]

Xoрxe, могу Вам рассказать откуда взялась эта вот это. На самом деле вопрос был в следующем. Существует ли топологическое пространство, $S$ такое,что $S^2=R^3$. Но это уже совсем другая история.

[Yu_K]

Похоже надо искать линию, соединяющую $a$ и $f(a)$ на плоскости - чтобы вся линия состояла из взаимноинвалютных точек - и дальше по сценарию Хорхе.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #508062 писал(а):

Странно, любителей топологии ставит в тупик элементарный вопрос. Не ожидал.

Всякий вопрос, разобранный в другом месте (http://mathoverflow.net/questions/18192 ... -the-plane) можно считать элементарным. Вот, кстати, высказались бы Вы по поводу этой задачи: topic51350.html

[Хорхе]

Oleg Zubelevich в сообщении #508717 писал(а):

Всякий вопрос, разобранный в другом месте (http://mathoverflow.net/questions/18192 ... -the-plane)

Раз Вы отредактировали свое сообщение, то, наверное, уже знаете, почему там просто найти нестягиваемую кривую без самопересечений?

-- Вс ноя 27, 2011 12:03:46 --

Вот, кстати, еще. Как решать, до сих пор не знаю.

[scwec]

Ссылка от Oleg Zubelevich на готовое решение фактически закрывает первоначальный вопрос. Конечно, решение это (выход на теорему Брауэра) было известно так давно, что и говорить не хочется. По поводу других задач, надо подумать.

[Oleg Zubelevich]

Хорхе в сообщении #508721 писал(а):

Вот, кстати, еще. Как решать, до сих пор не знаю.

думаю, что в том же духе. Соединяем два прообраза какой-то точки отрезком, образ этого отрезка -- замкнутая петля. Следим за прообразом этой петли при стягивании ее в точку. Дальше не продумывал, так что за успех этого хода не ручаюсь

[Хорхе]

Мне существование петли без самоперечечений, хоть оно и очевидно, не кажется более очевидным, чем утверждение задачи. Собственно, все мои попытки доказать это упирались в какой-нибудь подобный очевидный факт, который я не мог доказать.

Ну с этим ладно. Гомеоморфизм тут есть, и как-то так оно доказывается. А все-таки что с двукратным отображением? Там пока никаких гомеоморфизмов не видно и близко. Более того, в случае плоскости двукратное непрерывное отображение есть (ссылка в том же сообщении на mathoverflow), так что вряд ли какие-то такие рассуждения прокатят.