Задачи по дифференциальной геометрии.

[3.14]

И снова диффгем). Вот такие задачи :
1) Показать, что каждая кривая постоянной ненулевой кривизны $k$ может быть получена из натурально параметризованной кривой $\tau(s)$, лежащей на единичной сфере, следующим образом:

$$ (1) \gamma(s) = \frac {1}{k} \int_{0}^{sk} \tau(\sigma) d\sigma $$

2) Доказать, что $(2) \int\limits_{\gamma} k(s) ds = 2\pi $, где $k(s)$ - кривизна замкнутой плоской выпуклой кривой $\gamma$, а $s$ - натуральный параметр.

Мне известно, что $\tau(s)$ является касательным сферическим образом кривой $\gamma$.Тогда $\acute{\gamma(s)} = \tau(s)$. При этом я могу пользоваться задачей 4.47 из сборника задач Мищенко, Соловьев, Фоменко "Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии"(2004).

Вот я немного попробовал порешать..Вот ничего не вышло((
1) $\acute{\gamma(s)} = \tau(s) \Rightarrow \gamma(s) = \int_{0}^{s} \tau(u) du$. Пусть $u = \frac {\sigma} {k} \Rightarrow du = 1/k d\sigma \Rightarrow \gamma(s) = \frac {1}{k} \int_{0}^{sk} \tau(\sigma/k) d\sigma$. Вот дальше я не знаю что делать, ведь нужно получить формулу (1).
2) Из задачи 4.47 из сборника мне известно, что для замкнутой кривой выполняется неравенство $\int\limits_{\gamma} k(s) ds \geq 2\pi$. Вот что с этим дальше делать...

[svv]

$\gamma'(s)=v(s)$.
Почему не $\tau(s)$ ? Хотя при небрежной записи можно и так записать, но это ведёт к путанице, в которую Вы, скорее всего, и попались. По построению векторы $v(s)$ и $\tau(\sigma)$ равны для соответствующих значений $s$ и $\sigma$, но они не равны для совпадающих значений $s$ и $\sigma$, т.е. это разные векторные функции. Поэтому
$\gamma(s_0)=\int\limits_0^{s_0} v(s) ds$
Делаем замену переменных $s=s(\sigma)$:
$\gamma(s_0)=\int\limits_0^{\sigma_0} v(s(\sigma)) \frac {ds}{d\sigma}d\sigma$
Здесь $\sigma_0$ -- значение, соответствующее $s_0$, т.е. $s_0=s(\sigma_0)$.
Вводим новую функцию $\tau(\sigma)=v(s(\sigma))$. Вспоминаем из 4.47, что параметр $\sigma$ будет для касательного сферического образа натуральным, если $\frac {ds}{d\sigma}=\frac 1 k$, такой выбор и делаем:
$\gamma(s_0)=\int\limits_0^{\sigma_0} \tau(\sigma) \frac 1 {k(\sigma)} d\sigma$
Пока всё это верно в общем случае ненулевой кривизны. А для постоянного $k$ Вы сами легко напишете.

Вы помните, я Вас спрашивал, можно ли восстановить кривую по её касательному сферическому образу? Последняя интегральная формула это и делает. А ответ всё равно "нельзя", так как нужна ещё кривизна. В сферическом образе именно утрачена информация о кривизне, но, зная $k(\sigma)$, кривую можно восстановить (с точностью до).

[3.14]

что-то я не понял, что значит : по построению векторы $v(s)$ и $\tau(\sigma)$ равны для соответствующих значений $s$ и $\sigma$ , но они не равны для совпадающих значений $s$ и $\sigma$.

[svv]

Рассмотрим в качестве примера окружность радиуса $a$ с центром в $0$:
$\gamma(\varphi)=(a\cos\varphi, a\sin\varphi)$
Параметр $\varphi$ -- не натуральный. Поэтому определим так:
$\gamma(s)=(a\cos\frac s a, a\sin\frac s a)$
Параметр $s$ -- натуральный.

Единичный касательный вектор $v(s)=\gamma'(s)=(-\cos\frac s a, \sin\frac s a)$.
Если рассматривать эту функцию как кривую (касательный сферический образ), то параметр $s$ -- не натуральный.
Поэтому зададим кривую так:
$\tau(\sigma)=(-\cos\sigma, \sin\sigma)$.
$\sigma$ (но не $s$) -- натуральный параметр для касательного сферического образа.

$v(s)\neq \tau(s)$
$v(s(\sigma))=\tau(\sigma)$, если $s$ и $\sigma$ связаны соотношением $\frac {ds(\sigma)}{d\sigma}=\frac 1 k = a$.
$v(a\sigma)=\tau(\sigma)$

[3.14]

аа..вот оно что..теперь более менее ясно..спасибо..попробую порешать...еще и над второй подумать нужно...в задачнике нетрудно показывают, что $\int k(s)ds \geq 2\pi $. Как я понял, нужно как-то использовать тот факт, что $s$ натуральный параметр...

[svv]

Да. Еще раз по предыдущему вопросу.
Если $s$ -- натуральный параметр для исходной кривой $\gamma(s)$, тогда он не будет таковым для кривой $v(s)=\gamma'(s)$.
Хотим натуральный -- нужно сделать подходящую замену $v(s) \to v(s(\sigma))$.
Но запись $v(s(\sigma))$ как $v(\sigma)$ считается небрежностью, если не ошибкой (хотя я сам так делаю, когда уверен, что не запутаюсь).
Поэтому вводим новую функцию $\tau(\sigma)=v(s(\sigma))$.

Итак, некоторой точке исходной кривой и соответствующей точке касательного сферического образа соответствуют различные значения $s$ и $\sigma$, ибо для обеих кривых мы хотим иметь натуральную параметризацию.

[3.14]

у меня что-то не получается вверху интеграла $sk$ получить

[svv]

Посмотрите на моё сообщение http://dxdy.ru/post507562.html#p507562.
Там я в интеграле
$\gamma(s_0)=\int\limits_0^{s_0} v(s) ds$
делаю замену переменной, и получаю

svv в сообщении #507562 писал(а):

$\gamma(s_0)=\int\limits_0^{\sigma_0} v(s(\sigma)) \frac {ds}{d\sigma}d\sigma$
Здесь $\sigma_0$ -- значение, соответствующее $s_0$, т.е. $s_0=s(\sigma_0)$.

Обратите внимание, что верхний предел после замены изменился (это не дифгем, это матан ), и см. моё пояснение по этому поводу. Чему равно $\sigma_0$?

[3.14]

кстати, можете подсказать какой-нибудь учебник, где разобрана задачи по геометрии Лобачевского..Вот например, на нахождение длин, площадей и тд...Просто это геометрия что-то не особо понимается мной..)

[svv]

Лично я -- не знаю.

[alcoholist]

По поводу второй задачи.

Кривизна -- это модуль скорости поворота вектора, касательного к кривой:

$$ k(s)=\frac{d\varphi}{ds}. $$

Если кривая выпукла (кривизна не обращается в ноль), то полный поворот касательнго вектора и есть $2\pi$.

[vvsss]

6. Common Perpendicular To Geodesics 9.10.2011
http://www.youtube.com/watch?v=kOnKuQyTpng

Более примитивные разработки по длине отрезка, восстановлении и опускании перпендикуляра
есть в GInMA, раздел Геометрия ЛобачевскогоДо этого разработки о длине отрезка