Доказать, или показать на примере, что:

[Апис]

1.

Решето Эратосфена — алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа.

Выводим формулу алгоритма

$\[1 - \frac{1}{2}.....\]$

$\[1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6}.....\]$

$\[1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{30}}.....\]$

$\[1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5}\left( {1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} \right).....\]$

$\[\left( {1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} \right)\left( {1 - \frac{1}{5}} \right).....\]$

$\[\left[ {1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)} \right]\left( {1 - \frac{1}{5}} \right).....\]$

$\[\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{5}} \right).....\]$

$\[\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right).... \cdot \frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}\]$

$\[\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right).... \cdot \frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}} = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$

Формула (1,1) алгоритма решета Эратосфена

$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$ (1,1)

$\[{p_n}\]$– Простые числа
(n) – Номер простого числа

Формула (1,2) вычисления количества простых чисел на интервалах $\[\left( {{p_n},m} \right)\]$.

$\[m\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - 1\]$ (1,2)

$\[p_n^2 < m < p_{n + 1}^2\]$

На коротких интервалах :

$\[\begin{array}{l} m = p_n^2\\ {m^/} = {\left( {{p_n} + 1} \right)^2} \end{array}\]$

$\[{\left( {{p_n} + 1} \right)^2}\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} = \left( {2{p_n} + 1} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$

Формула (1,3) вычисления количества простых чисел на коротком интервале.$\[\left( {p_n^2,{{\left( {{p_n} + 1} \right)}^2}} \right)\]$

$\[\left( {2{p_n} + 1} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$ (1,3)

Погрешность вычисления, проблема сложная. И ждёт своего решения.

Но если взять за критерий оценки формулы не величину погрешности вычисления, а количество смены знаков у величин погрешности при вычислениях.
Есть интересный результат. Коэффициент 2,4

$\[\frac{{k \cdot {p_n}}}{{\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \right)} } \right]}} - 1\]$ (1,4) - Формула для вычисления количества простых чисел на коротком интервале $\[\left[ {{p_n},\frac{{k \cdot {p_n}}}{{^{\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \right)} } \right]\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }}}} \right)\]$

(E+-) - Количество смены знаков у величин погрешности при вычислении по формуле (1,4).
Значение в знаменателе $\[\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \right)} } \right]\]$ берётся только по целым числам, антье от $\[\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \right)} } \right]\]$
Например: Для интервала (1,x) x=1299709. При коэффициенте
(к)=2,4 (E+-)=151

2,

Расстояние между соседними простыми числами

$\[\left[ {1,\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right)} \right]\]$ Начальный числовой отрезок.

$\[\left[ {\left( {{p_t}} \right),\left( {{p_{t + 1}} - 1} \right)} \right]\]$ Числовой отрезок, между соседними простыми числами

$\[\begin{array}{l} {p_t} > {p_n}\\ {p_{t + 1}} - 1 < p_{n + 1}^2 - 1 \end{array}\]$

Дадим четыре определения. 1. Начального отрезка. 2. Базисного числа. 3. Базиса от базисного числа. 4. Особый вид начального отрезка.

1. Начальный отрезок, это отрезок , состоящий из базисных чисел и их базисов.
2. Базисное число, это простое число (p).
3. Базис от простого числа (p) это все числа кратные (p), без чисел пересечения с предыдущими базисами. Базисное число входит в базис.
4. Особый вид начального отрезка, это отрезок подобный и равный начальному отрезку, и равный начальному отрезку по количеству элементов всех базисов, но с другим расположением базисных чисел.



Доказать:$\[\left( {{p_{t + 1}} - 1} \right) - {p_t} < \left( {{p_{n + 1}} - 1} \right) - 1\]$ $\[\begin{array}{l} {p_t} > {p_n}\\ {p_{t + 1}} - 1 < p_{n + 1}^2 - 1 \end{array}\]$

Доказательство. Предположим $\[\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right) - 1 = \left( {{p_{t + 1}} - 1} \right) - {p_t}\]$

Отрезок, $\[\left[ {\left( {{p_t}} \right),\left( {{p_{t + 1}} - 1} \right)} \right]\]$ можно представить в виде начального отрезка, но с другим начальным расположением базисных чисел. Для этого, начиная с числа , раскладываем числа на простые множители. Меньшее простое число, принимаем за базисное число. Все остальные числа на отрезке, кратные базисному числу, принимаем за его базис. Так же поступаем со следующим составным числом не входящим в предыдущий базис и так далее. В итоге должны получить, из отрезка $\[\left[ {\left( {{p_t}} \right),\left( {{p_{t + 1}} - 1} \right)} \right]\]$ отрезок особого вида.
Для начала, проверим, может ли существовать отрезок особого вида.
На отрезке $\[\left[ {1,\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right)} \right]\]$ поменяем местами базисные числа. То есть из начального отрезка, $\[\left[ {1,\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right)} \right]\]$ попытаемся сделать отрезок особого вида.
Переменив местами, на начальном отрезке, два базисных числа, изменяться величины и их базисов на начальном отрезке. Имеем:
1, увеличение базиса с большими базисными числами и
2, одновременно уменьшение базиса с меньшими базисными числами.
Наоборот невозможно, потому что это будет возвращение в исходное состояние, возвращение к начальному отрезку.
Изменяются базисы, на одинаковую величину, а базисные числа разные по величине. Значит, в первом случае элементов базиса уйдёт больше, чем прибавиться элементов базиса во втором случае. Количество элементов всех базисов, на отрезке, в сумме уменьшиться

Продолжая менять местами базисные числа. Будем наращивать изменения, в сторону уменьшения, количества элементов всех базисов. Значит. Невозможно создать особый вид начального отрезка, подобный и равный начальному отрезку, но с другим расположением базисных чисел. На отрезке особого вида, количество элементов всех базисов будет меньше. Но это уже будет не отрезок особого вида.
Доказали, не может быть отрезка особого вида.
Значит
$\[\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right) - 1 \ne \left( {{p_{t + 1}} - 1} \right) - {p_t}\]$ $\[\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right) - 1 > \left( {{p_{t + 1}} - 1} \right) - {p_t}\]$ Это и есть доказательство того, что на интервале $\[\left( {{p_n},p_{n + 1}^2} \right)\]$ всегда $\[\left( {{p_{t + 1}} - 1} \right) - {p_t} < \left( {{p_{n + 1}} - 1} \right) - 1\]$
$\[\begin{array}{l} {p_t} > {p_n}\\ {p_{t + 1}} - 1 < p_{n + 1}^2 - 1 \end{array}\]$

Тест на сообразительность

Формула $\[p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - 1\]$ для вычисления количества простых чисел. На интервале $\[\left( {{p_n},p_n^2} \right)\]$ Выведем формулу для вычисления количества простых чисел на интервале $\[\left( {0,p_n^2} \right)\]$

$\[{S_n} = \left[ {p_1^2 \cdot \prod\limits_{i = 1}^1 {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - 1} \right] + \]$

$\[ + \left[ {p_2^2 \cdot \prod\limits_{i = 1}^2 {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - p_1^2 \cdot \prod\limits_{i = 1}^1 {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} } \right] + \]$

$\[ + \left[ {p_3^2 \cdot \prod\limits_{i = 1}^3 {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - p_2^2 \cdot \prod\limits_{i = 1}^2 {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} } \right] + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \]$

$\[ \cdot \cdot \cdot + \left[ {p_n^2 \cdot \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - p_{n - 1}^2 \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} } \right]\]$

$\[{S_n}\]$ сумма (n) членов ряда
Раскроем скобки и получим

$\[{S_n} = p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - 1\]$

Странно, одна и та же формула для разных интервалов $\[\left( {{p_n},p_n^2} \right)\]$ $\[\left( {0,p_n^2} \right)\]$

В чём тут дело?


Что бы не утомлять вас больше выкладками, кратко приведу один результат.

$\[p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - 1\]$ формула вычисления количества простых чисел на интервале $\[\left( {0,p_n^2} \right)\]$

Минимальная погрешность вычисления(E_n – Погрешность вычисления)будет при следующих условиях.
P#+1=P_n
Например:
2*3+1=7 \ 49*0,22857142857142857142857142857143-1=10,2 \(15) \ E_4=10,2-15=-4,8
2*3*5+1=31 \312*0,15285215138898600537040048651775-1=145,89 \(162) \ E_11=145,89-162=-16,11
2*3*5*7+1=211 \2112*0,10340224734686314036617469296765-1=4602,57\(4627)\E_47=-24,43
2*3*5*7*11+1=2311 23112*0,072283275896600550509001872434706-1=386043,8(
Больше полтора миллиона простых чисел таблицы у меня нет, так что на этом примеры закончились.
И если P#+1=m, где (m) не простое число. Не страшно, лишь бы выполнялось условие
$\[p_n^2 \le m < p_{n + 1}^2\]$

[Sonic86]

С точки зрения изложения всего материала, возможно, это наиболее законченный вариант. Однако язык тот же (если неясно, ТС пытается использовать решето Эратосфена для оценки $\pi (x)$), и ничего нового нет. Кратко повторю:
формула $\pi (x) \approx xP(x)=x \prod\limits_{p \leqslant x} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ имеет систематическую погрешность $\lim\limits_{x \to + \infty} \frac{\pi (x)}{xP(x)} = e^{-\gamma} \neq 1$, что следует из формулы Мертенса $\prod\limits_{p \leqslant x} \left( 1 - \frac{1}{p}\right) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln x}$. Т.е. эта формула, для применения которой еще нужно вычислить все простые числа, гораздо хуже, чем формула $\pi (x) \approx \frac{x}{\ln x}$, оценивание по которой происходит без вычисления простых чисел и уж тем более гораздо хуже, чем существующая формула $|\pi (x) - \int\limits_2^x \frac{dt}{\ln t}| = O(\sqrt{x} \ln x)$, истинность которой следует из ГР. Если же вычислять все простые, то существует тогда абсолютно точная формула $\pi (x) - \pi (\sqrt{x})+1 = \sum\limits_{2 \leqslant p_1 < \dots < p_k \leqslant x} (-1)^k\left[ \frac{x}{p_1 \dots p_k}\right]$, получаемая из решета Эратосфена.

Апис, почему Вы не читаете литературу?

[vorvalm]

Sonic86
Браво!

[Апис]

Цитата:

ТС пытается использовать решето Эратосфена для оценки ), и ничего нового нет.

Ещё раз для Sonic86

Попробуйте тоже самое сказать о простых числах на коротких интервалах.

Попробуйте опровергнуть доказательство

Цитата:

max. Расстояние между соседними простыми числами

И последнее, постарайтесь прочитать всё сообщение.

[Sonic86]

Апис в сообщении #507671 писал(а):

Попробуйте тоже самое сказать о простых числах на коротких интервалах.

Так это верно на любых интервалах. Вообще, обычно интересуются высказываниями именно о всех простых больше некоторой границы (а всю нужную информацию о тех простых, что меньше некоторой границы, можно получить перебором на компе).

Апис в сообщении #507671 писал(а):

Попробуйте опровергнуть доказательство

Само доказательство читать не буду - Вы его почти без изменений скопировали из исходного варианта, а оно и тогда еще было мутным и потому сейчас мутно, а телепатических способностей понимания таких текстов у меня почти нет. Причем Вы доказательство сами даже не читали, иначе заметили бы опечатку:

Апис в сообщении #504855 писал(а):

Для этого, начиная с числа , раскладываем числа на простые множители.

с какого числа?
Естественно, я это читать не буду.

Формулировку точно не понял:

Апис в сообщении #504855 писал(а):

Доказать:$\[\left( {{p_{t + 1}} - 1} \right) - {p_t} < \left( {{p_{n + 1}} - 1} \right) - 1\]$ $\[\begin{array}{l} {p_t} > {p_n}\\ {p_{t + 1}} - 1 < p_{n + 1}^2 - 1 \end{array}\]$

Вы здесь хотели написать $p_n<p_t;p_{t+1}<p_{n+1}^2 \Rightarrow p_{t+1}-p_t < p_{n+1}-1$? Если да, то здесь $n<t< -1+ \pi (p_{n+1}^2) \sim n^2 \ln n$, значит на правом конце отрезка $[n; -1 + \pi (p_{n+1}^2)]$ для $t$ должно быть нечто вроде гипотезы Лежандра. Но читать доказательство я не буду, пока Вы не приведете его в надлежащий вид. (принцип: если доказательство мутное, то его нет)

Апис в сообщении #507671 писал(а):

И последнее, постарайтесь прочитать всё сообщение.

Ну на 1-у часть я ответил выше. На 2-ю часть - снова сейчас ответил (вообще, мы что так и будем писать одно и то же?). Дальше идет:

Апис в сообщении #504855 писал(а):

Тест на сообразительность

Здесь используется формула из 1-й части, которая слишком груба, чтобы ей интересоваться. Ну можно было бы ради интереса сравнить $\operatorname{Li} _2 (p_n^2)$ и $\operatorname{Li} _2 (p_{n+1}^2) - \operatorname{Li}_2(p_n^2)$. Однако для этого надо знать хотя бы несколько членов $p_n$, что затрудняет задачу. Ну можно для конкретных $n$ подсчитать. Но что это дает?
Наконец

Апис в сообщении #504855 писал(а):

Что бы не утомлять вас больше выкладками, кратко приведу один результат.

Непонятно, что там чем является. Если я там что-то понял, то вижу, что погрешность страшно растет, что какбе намекает нам...

[Апис]

Цитата:

(принцип: если доказательство мутное, то его нет)

Кто определяет мутность доказательства?
Ну нет, так нет.

[Sonic86]

Апис в сообщении #507716 писал(а):

Кто определяет мутность доказательства?

Ну грубо говоря, текст можно считать настолько мутным, насколько читателю приходится думать о том, о чем ему думать не нужно для понимания текста.
Например:

Апис в сообщении #504855 писал(а):

, начиная с числа , раскладываем числа на простые множители.

здесь я должен думать о том, с какого числа хотел начать автор, хотя думать об этом не должен.
Или, например, тут:

Апис в сообщении #504855 писал(а):

Доказать:$\[\left( {{p_{t + 1}} - 1} \right) - {p_t} < \left( {{p_{n + 1}} - 1} \right) - 1\]$ $\[\begin{array}{l} {p_t} > {p_n}\\ {p_{t + 1}} - 1 < p_{n + 1}^2 - 1 \end{array}\]$

Здесь я должен думать, одна это формула и почему она так подпрыгивает, или же это 2 формулы, причем 2-я - условия для 1-й.
Или например:

Апис в сообщении #504855 писал(а):

2. Базисное число, это простое число (p).

Вы вводите тривиальное определение, просто меняете термин "простое число", на "базисное число". Структура термина от этого не упрощается. Значит определение избыточно и его следует убрать из текста. Почему это должен делать я в своей голове, а не автор?
И зачем писать простое число в скобках? Обычно $(p)$ обозначает идеал, порожденный числом $p$, это вызывает путаницу. Почему читатель должен от этого страдать?
Ну и т.д.

В 5-й раз говорю: перечитывайте свой текст перед его опубликованием, перечитывайте мееедлееенно, проверяйте его формальными критериями, или отдавайте другим людям: пусть читают и предъявляют претензии.

[Апис]

Ещё раз повторяю. Нет доказательства, значит нет.

[bot]

Мутный текст доказательством быть не может. Просто Sonic86 Вам аванс выдаёт. Очистите текст от мути, тогда и можно будет судить, является ли он доказательством или не является. Возможно даже и сами тогда сумеете его классифицировать - это я тоже Вам аванс выдаю.

[Апис]

bot в сообщении #508235 писал(а):

- это я тоже Вам аванс выдаю

Спасибо не надо

[bot]

Вот оно истинное лицо пургогона! Не царское это дело - свои бредни анализировать. Пусть другие этим занимаются.

[Апис]

При значении. \left( {{S_{{p_n}}}} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - 1 + n = Q
{S_{{p_n}}} = \frac{{(1 + {p_n}){p_n}}}{2}
ошибка вычисления количества простых чисел (Q) на интервале \left( {0,{S_{{P_n}}}} \right) не превышает P_n

[Апис]

Сумма из средних пробелов
Проверить, есть ли простое число (P_n) при котором
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} + 1}}} } \leqslant {p_n}$
Я пробую, но не получается

[Null]

Ваша бесконечная сумма расходиться.

[Апис]

Null в сообщении #535406 писал(а):

Ваша бесконечная сумма расходиться.

Но можно ряд изменить, например

$\frac{2}{1} + \frac{2}{1}\frac{3}{2} + \frac{2}{1}\frac{3}{2}\frac{5}{4} + \frac{2}{1}\frac{3}{2}\frac{5}{4}\frac{7}{6} + ...$

$\frac{2}{1} + \frac{2}{1}\frac{3}{2} + \frac{2}{1}\frac{3}{2}\frac{5}{4}(1 + \frac{7}{6}) + ...$

$\[\frac{2}{1}(1 + \frac{3}{2})(1 + \frac{5}{4})(1 + \frac{7}{6})\] ...$

или новый какой-то подход, если бы известные методы можно было применить, проблемы бы не было.