2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему Z[sqrt(5)] не является кольцом главных идеалов
Сообщение24.11.2011, 18:25 


24/11/11
3
Была задачка: Показать, что в $A=\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ бывают неприводимые, но при этом не простые элементы.
При этом было сказано, что когда я это покажу, то будет видно, что $A$ - не кольцо главных идеалов.

Задачку я вроде решил:
$a=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-1) \in A$ не приводим, т.к. \sqrt{5}-2$ обратимый элемент кольца: 1=(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$.
Но при этом элемент $a$ не прост, т.к. ни \sqrt{5}-2$, ни $\sqrt{5}-1$ не содержатся в идеале $(a)$ $\Box$

Но вот, почему $A$ не кольцо главных идеалов - так и не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Z[sqrt(5)] не является кольцом главных идеалов
Сообщение24.11.2011, 19:56 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
aloska в сообщении #507431 писал(а):
Но вот, почему $A$ не кольцо главных идеалов - так и не понял.

Потому что в КГИ неприводимые элементы обязательно просты.

 Профиль  
                  
 
 Потому что в КГИ неприводимые элементы обязательно просты.
Сообщение24.11.2011, 22:47 


24/11/11
3
Цитата:
Потому что в КГИ неприводимые элементы обязательно просты.


Точно! Спасибо. Еще бы кто объяснил, почему так. Может литературу подскажите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Z[sqrt(5)] не является кольцом главных идеалов
Сообщение25.11.2011, 11:46 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
aloska в сообщении #507538 писал(а):
Еще бы кто объяснил, почему так. Может литературу подскажите?

Боюсь, в литературе везде это оставляют как упражнение :-) Но это несложно, если $x$ неприводим, то в КГИ $(x)$ окажется максимальным, откуда тут же получается простота $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Z[sqrt(5)] не является кольцом главных идеалов
Сообщение25.11.2011, 13:12 


24/11/11
3
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group