Почему Z[sqrt(5)] не является кольцом главных идеалов

[aloska]

Была задачка: Показать, что в $A=\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ бывают неприводимые, но при этом не простые элементы.
При этом было сказано, что когда я это покажу, то будет видно, что $A$ - не кольцо главных идеалов.

Задачку я вроде решил:
$a=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-1) \in A$ не приводим, т.к. \sqrt{5}-2$ обратимый элемент кольца: 1=(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$.
Но при этом элемент $a$ не прост, т.к. ни \sqrt{5}-2$, ни $\sqrt{5}-1$ не содержатся в идеале $(a)$ $\Box$

Но вот, почему $A$ не кольцо главных идеалов - так и не понял.

[Joker_vD]

aloska в сообщении #507431 писал(а):

Но вот, почему $A$ не кольцо главных идеалов - так и не понял.

Потому что в КГИ неприводимые элементы обязательно просты.

[aloska]

Цитата:

Потому что в КГИ неприводимые элементы обязательно просты.

Точно! Спасибо. Еще бы кто объяснил, почему так. Может литературу подскажите?

[Joker_vD]

aloska в сообщении #507538 писал(а):

Еще бы кто объяснил, почему так. Может литературу подскажите?

Боюсь, в литературе везде это оставляют как упражнение Но это несложно, если $x$ неприводим, то в КГИ $(x)$ окажется максимальным, откуда тут же получается простота $x$.

[aloska]

Спасибо!